Când începeți cu trei ecuații și trei necunoscute (variabile), puteți crede că aveți suficiente informații de rezolvat pentru toate variabilele. Cu toate acestea, atunci când rezolvați un sistem de ecuații liniare utilizând metoda de eliminare, puteți constata că sistemul nu este suficient de determinat pentru a găsi un răspuns unic și, în schimb, un număr infinit de soluții este posibil. Acest lucru se întâmplă atunci când informațiile dintr-una dintre ecuațiile din sistem sunt redundante față de informațiile conținute în celelalte ecuații.
Un exemplu 2x2
3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Acest sistem de ecuații este clar redundant. Puteți crea o ecuație de la cealaltă prin simpla multiplicare cu o constantă. Cu alte cuvinte, ele transmit aceleași informații. Deși există două ecuații pentru cele două necunoscute, x și y, soluția acestui sistem nu poate fi restrânsă la o valoare pentru x și o valoare pentru y. (x, y) = (1,1) și (5 / 3,0) o rezolvă ambele, la fel ca multe alte soluții. Acesta este genul de „problemă”, această insuficiență de informații, care duce la un număr infinit de soluții și în sisteme mai mari de ecuații.
Un exemplu 3x3
x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [Punctele de scădere sunt folosite doar pentru a menține spațiul.] Prin metoda de eliminare, eliminați x din al doilea rând scăzând al doilea rând din primul, dând x + y + z = 10 _2y= 10 x_ +z = 5 Eliminați x din al treilea rând scăzând al treilea rând din primul. x + y + z = 10 _2y=10 y= 5 În mod clar, ultimele două ecuații sunt echivalente. y este egal cu 5, iar prima ecuație poate fi simplificată prin eliminarea lui y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 sau x + z = 5 y = 5 Rețineți că metoda de eliminare nu va produce o formă triunghiulară frumoasă aici, așa cum se întâmplă atunci când există o soluție unică. În schimb, ultima ecuație (dacă nu mai mult) va fi ea însăși absorbită în celelalte ecuații. Sistemul are acum trei necunoscute și doar două ecuații. Sistemul este numit „subdeterminat”, deoarece nu există suficiente ecuații pentru a determina valoarea tuturor variabilelor. Este posibil un număr infinit de soluții.
Cum se scrie soluția infinită
Soluția infinită pentru sistemul de mai sus poate fi scrisă în termenii unei variabile. Un mod de scriere este (x, y, z) = (x, 5,5-x). Deoarece x poate lua un număr infinit de valori, soluția poate lua un număr infinit de valori.
