3 metode pentru rezolvarea sistemelor de ecuații

Cele trei metode cele mai frecvent utilizate pentru rezolvarea sistemelor de ecuație sunt substituția, eliminarea și matricile augmentate. Înlocuirea și eliminarea sunt metode simple care pot rezolva în mod eficient majoritatea sistemelor de două ecuații în câțiva pași simpli. Metoda matricilor augmentate necesită mai mulți pași, dar aplicarea sa se extinde la o mai mare varietate de sisteme.

Substituirea este o metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații prin eliminarea tuturor variabilelor, cu excepția uneia dintre una dintre ecuații și apoi rezolvarea acelei ecuații. Acest lucru se realizează prin izolarea celeilalte variabile într-o ecuație și apoi înlocuirea valorilor pentru aceste variabile în altă ecuație. De exemplu, pentru a rezolva sistemul de ecuații x + y = 4, 2x - 3y = 3, izolați variabila x în prima ecuația pentru a obține x = 4 - y, apoi înlocuiți această valoare a lui în a doua ecuație pentru a obține 2 (4 - y) - 3y = 3. Această ecuație se simplifică la -5y = -5 sau y = 1. Conectați această valoare la a doua ecuație pentru a găsi valoarea lui x: x + 1 = 4 sau x = 3.

Eliminarea este un alt mod de a rezolva sistemele de ecuații rescriind una dintre ecuații în termenii unei singure variabile. Metoda de eliminare realizează acest lucru prin adăugarea sau scăderea ecuațiilor unele de altele pentru a anula una dintre variabile. De exemplu, adăugând ecuațiile x + 2y = 3 și 2x - 2y = 3 rezultă o nouă ecuație, 3x = 6 (rețineți că termenii y au fost anulați). Sistemul este apoi rezolvat folosind aceleași metode ca și pentru substituire. Dacă este imposibil să se anuleze variabilele din ecuații, va fi necesar să se înmulțească întreaga ecuație cu un factor pentru a face coeficienții să se potrivească.

Matricile mărite pot fi utilizate și pentru rezolvarea sistemelor de ecuații. Matricea augmentată constă din rânduri pentru fiecare ecuație, coloane pentru fiecare variabilă și o coloană augmentată care conține termenul constant de cealaltă parte a ecuației. De exemplu, matricea mărită pentru sistemul de ecuații 2x + y = 4, 2x - y = 0 este [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].

Următorul pas implică utilizarea operațiilor de rând elementare, cum ar fi înmulțirea sau împărțirea unui rând cu o altă constantă decât zero și adăugarea sau scăderea rândurilor. Scopul acestor operații este de a converti matricea în formă rând-eșalon, în care prima intrare diferită de zero din fiecare rând este 1, intrări deasupra și dedesubtul acestei intrări sunt toate zerouri, iar prima intrare diferită de zero pentru fiecare rând este întotdeauna în dreapta tuturor acestor intrări din rânduri deasupra. Forma eșalonului de rând pentru matricea de mai sus este [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Valoarea primei variabile este dată de primul rând (1x + 0y = 1 sau x = 1). Valoarea celei de-a doua variabile este dată de al doilea rând (0x + 1y = 2 sau y = 2).

Substituirea și eliminarea sunt metode mai simple de rezolvare a ecuațiilor și sunt utilizate mult mai frecvent decât matricile augmentate în algebra de bază. Metoda de substituție este utilă mai ales atunci când una dintre variabile este deja izolată într-una din ecuații. Metoda de eliminare este utilă atunci când coeficientul uneia dintre variabile este același (sau echivalentul său negativ) în toate ecuațiile. Avantajul principal al matricilor augmentate este că poate fi utilizat pentru a rezolva sisteme de trei sau mai multe ecuații în situații în care substituirea și eliminarea sunt fie irealizabile, fie imposibile.