Cel mai bun mod de a factoriza polinoamele cu fracții începe cu reducerea fracțiilor la termeni mai simpli. Polinoamele reprezintă expresii algebrice cu doi sau mai mulți termeni, mai precis, suma mai multor termeni care au expresii diferite ale aceleiași variabile. Strategiile care ajută la simplificarea polinoamelor implică luarea în considerare a celui mai mare factor comun, urmat de gruparea ecuației în termenii săi cei mai mici. Același lucru este valabil chiar și atunci când se rezolvă polinoame cu fracții.
Polinoame cu fracții definite
Aveți trei moduri în care puteți vizualiza sintagma polinoame cu fracții. Prima interpretare se referă la polinoame cu fracții pentru coeficienți. În algebră, coeficientul este definit ca numărul cantității sau constantei găsite înaintea unei variabile. Cu alte cuvinte, coeficienții pentru 7_a_, b și (1/3)c sunt 7, 1 și respectiv (1/3). Prin urmare, două exemple de polinoame cu coeficienți de fracție ar fi:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 \ text {și} x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8}
A doua interpretare a „polinoamelor cu fracții” se referă la polinoamele existente în fracție sau raport formează cu un numărător și un numitor, unde polinomul numărătorului este împărțit la numitor polinom. De exemplu, această a doua interpretare este ilustrată de:
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
Între timp, a treia interpretare se referă la descompunerea fracției parțiale, cunoscută și sub numele de expansiune a fracției parțiale. Uneori fracțiile polinomiale sunt complexe, astfel încât atunci când sunt „descompuse” sau „descompuse” în termeni mai simpli, sunt prezentați ca sume, diferențe, produse sau coeficienți de polinom fracțiuni. Pentru a ilustra, fracția polinomială complexă a:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
este evaluat prin descompunerea fracției parțiale, care, întâmplător, implică factorizarea polinoamelor, pentru a fi, în forma sa cea mai simplă:
\ bigg (\ frac {3} {x + 2} \ bigg) + \ bigg (\ frac {5} {x-1} \ bigg)
Bazele Factoringului - Proprietatea distributivă și metoda FOIL
Factorii reprezintă două numere care atunci când sunt înmulțite împreună egalează un al treilea număr. În ecuațiile algebrice, factorizarea determină ce două cantități au fost înmulțite împreună pentru a ajunge la un polinom dat. Proprietatea distributivă este foarte urmărită atunci când se înmulțesc polinoame. Proprietatea distributivă permite în esență să înmulțiți o sumă înmulțind fiecare număr individual înainte de a adăuga produsele. Observați, de exemplu, cum se aplică proprietatea distributivă în exemplul:
7 (10x + 5) \ text {pentru a ajunge la binomul} 70x + 35.
Dar, dacă doi binomi sunt înmulțiți împreună, o versiune extinsă a proprietății distributive este utilizată prin metoda FOIL. FOIL reprezintă acronimul pentru primul, exterior, interior și ultimul termen fiind multiplicat. Prin urmare, factorizarea polinoamelor implică efectuarea metodei FOIL înapoi. Luați cele două exemple menționate mai sus cu polinoamele care conțin coeficienți de fracție. Efectuarea metodei FOIL înapoi pe fiecare dintre ele are ca rezultat factorii
\ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
pentru primul polinom și factorii
\ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} {2} \ bigg)
pentru al doilea polinom.
Exemplu:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 = \ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
Exemplu:
x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8} = \ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} { 2} \ bigg)
Pași de urmat atunci când se iau în considerare fracțiile polinomiale
De sus, fracțiile polinomiale implică un polinom în numărător împărțit cu un polinom în numitor. Evaluarea fracțiilor polinomiale necesită, așadar, factorizarea polinomului numerator urmată mai întâi de factorizarea numelui polinomial. Ajută la găsirea celui mai mare factor comun, sau MCD, între numărător și numitor. Odată ce GCF atât al numărătorului, cât și al numitorului este găsit, acesta se anulează, reducând în cele din urmă întreaga ecuație în termeni simplificați. Luați în considerare exemplul fracției polinomiale originale de mai sus
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
Factorizarea polinomilor numărătorului și numitorului pentru a găsi GCF rezultă în:
\ frac {(x + 2) (x + 5)} {(x + 2) (x + 9)}
cu GCF fiind (X + 2).
MCD atât în numărător, cât și în numitor se anulează reciproc pentru a oferi răspunsul final în termenii cei mai mici de (X + 5) ÷ (X + 9).
Exemplu:
\ begin {align} \ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18} & = \ frac {\ cancel {(x + 2)} (x + 5)} {\ cancel { x + 2)} (x + 9)} \\ & = \ frac {x + 5} {x + 9} \ end {align}
Evaluarea ecuațiilor prin descompunerea fracției parțiale
Descompunerea fracției parțiale, care implică factorizarea, este o modalitate de rescriere a ecuațiilor fracțiunii polinomiale complexe într-o formă mai simplă. Revizuirea exemplului din partea de sus a
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
Simplificați denumitorul
Simplificați numitorul pentru a obține:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2} = \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)}
Rearanjați numerotatorul
Apoi, rearanjați numeratorul astfel încât să înceapă să aibă GCF-urile prezente în numitor, pentru a obține:
\ begin {align} \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)} & = \ frac {3x + 5x - 3 + 10} {(x + 2) (x - 1)} \ \ & = \ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} \\ \ end {align}
Pentru addend-ul din stânga, GCF este (X - 1), în timp ce pentru adăugarea corectă, GCF este (X + 2), care se anulează în numărător și numitor, după cum se vede în:
\ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} = \ frac {3 \ cancel {(x - 1)}} {(x + 2) \ cancel {(x - 1)}} + \ frac {5 \ cancel {(x + 2)}} {\ cancel {(x + 2)} (x - 1) }
Astfel, când GCF-urile se anulează, răspunsul final simplificat este:
\ frac {3} {x + 2} + \ frac {5} {x - 1}
ca soluție a descompunerii fracției parțiale.