Principiul lui Bernoulli: definiție, ecuație, exemple

Cum zboară avioanele? De ce o minge curbată urmează o cale atât de ciudată? Și de ce trebuie să vă îmbogățițiin afaraa ferestrelor tale în timpul unei furtuni? Răspunsurile la toate aceste întrebări sunt aceleași: sunt rezultatul principiului lui Bernoulli.

Principiul lui Bernoulli, numit uneori și efectul Bernoulli, este unul dintre cele mai importante rezultate în studiul dinamicii fluidelor, corelând viteza fluxului fluidului cu presiunea fluidului. Acest lucru s-ar putea să nu pară deosebit de important, dar așa cum arată gama imensă de fenomene pe care le ajută să explice, regula simplă poate dezvălui multe despre comportamentul unui sistem. Dinamica fluidelor este studiul fluidului în mișcare și, prin urmare, are sens că principiul și ecuația însoțitoare (ecuația lui Bernoulli) apar destul de regulat pe teren.

Aflarea despre principiu, ecuația care îl descrie și câteva exemple ale principiului lui Bernoulli în acțiune vă pregătește pentru multe probleme pe care le veți întâlni în dinamica fluidelor.

instagram story viewer

Principiul lui Bernoulli

Principiul lui Bernoulli poartă numele lui Daniel Bernoulli, fizicianul și matematicianul elvețian care l-a dezvoltat. Principiul corelează presiunea fluidului cu viteza și elevația acestuia și poate fi explicat prin conservarea energiei. Pe scurt, afirmă că, dacă viteza unui fluid crește, atunci fie presiunea statică a acestuia trebuie să scadă pentru a compensa, fie energia potențială trebuie să scadă.

Relația cu conservarea energiei este clară din aceasta: fie viteza suplimentară provine din potențial energie (adică energia pe care o deține datorită poziției sale) sau din energia internă care creează presiunea fluid.

Prin urmare, principiul Bernoulli explică principalele motive pentru fluxul fluidelor pe care fizicienii trebuie să le ia în considerare în dinamica fluidelor. Fie fluidul curge ca urmare a ridicării (deci energia sa potențială se schimbă), fie curge din cauza presiunii diferențele în diferitele părți ale fluidului (deci fluidele din zona cu energie ridicată și presiune mai mare se deplasează la presiunea scăzută zona). Principiul este un instrument foarte puternic, deoarece combină motivele pentru care fluidul se mișcă.

Cu toate acestea, cel mai important lucru de luat de la principiu este că fluidul care curge mai rapid are o presiune mai mică. Dacă vă amintiți acest lucru, veți putea lua lecția cheie din principiu și numai acesta este suficient pentru a explica multe fenomene, inclusiv cele trei din paragraful introductiv.

Ecuația lui Bernoulli

Ecuația Bernoulli pune principiul Bernoulli în termeni mai clari și mai cuantificabili. Ecuația afirmă că:

P + \ frac {1} {2} \ rho v ^ 2 + \ rho gh = \ text {constant across}

AiciPeste presiunea,ρeste densitatea fluidului,veste viteza fluidului,geste accelerația datorată gravitației șiheste înălțimea sau adâncimea. Primul termen din ecuație este pur și simplu presiunea, al doilea termen este energia cinetică a fluid pe unitate de volum și al treilea termen este energia potențială gravitațională pe unitate de volum pentru fluid. Acest lucru este echivalat cu o constantă, deci puteți vedea dacă aveți valoarea la un moment dat și valoarea la un moment dat timp, puteți seta cele două să fie egale una cu cealaltă, ceea ce se dovedește a fi un instrument puternic pentru rezolvarea dinamicii fluidelor Probleme:

P_1 + \ frac {1} {2} \ rho v_1 ^ 2 + \ rho gh_1 = P_2 + \ frac {1} {2} \ rho v_2 ^ 2 + \ rho gh_2

Cu toate acestea, este important de menționat limitele la ecuația lui Bernoulli. În special, presupune că există o raționalizare între punctele 1 și 2 (părțile etichetate de indicii), există un flux constant, există fără frecare în flux (datorită vâscozității în fluid sau între fluid și părțile laterale ale conductei) și că fluidul are o constantă densitate. Acest lucru nu este în general cazul, dar pentru un flux lent de fluid care poate fi descris ca flux laminar, aproximările ecuației sunt adecvate.

Aplicații ale principiului lui Bernoulli - un tub cu o constricție

Cel mai frecvent exemplu al principiului lui Bernoulli este acela al unui fluid care curge printr-o conductă orizontală, care se îngustează în mijloc și apoi se deschide din nou. Acest lucru este ușor de rezolvat cu principiul lui Bernoulli, dar trebuie să folosiți și ecuația de continuitate pentru a o rezolva, care afirmă:

ρA_1v_1 = ρA_2v_2

Acesta folosește aceiași termeni, în afară deA, care reprezintă aria secțiunii transversale a tubului și având în vedere că densitatea este egală în ambele puncte, acești termeni pot fi ignorați în scopul acestui calcul. Mai întâi, rearanjați ecuația de continuitate pentru a da o expresie a vitezei din porțiunea restrânsă:

v_2 = \ frac {A_1v_1} {A_2}

Acest lucru poate fi apoi introdus în ecuația lui Bernoulli pentru a rezolva presiunea din secțiunea mai mică a conductei:

P_1 + \ frac {1} {2} \ rho v_1 ^ 2 + \ rho gh_1 = P_2 + \ frac {1} {2} \ rho v_2 ^ 2 + \ rho gh_2 \\ P_1 + \ frac {1} {2 } \ rho v_1 ^ 2 + \ rho gh_1 = P_2 + \ frac {1} {2} \ rho \ bigg (\ frac {A_1v_1} {A_2} \ bigg) ^ 2 + \ rho gh_2

Acest lucru poate fi rearanjat pentruP2, observând că în acest caz,h1 = ​h2și, astfel, al treilea termen de pe fiecare parte se anulează.

P_2 = P_1 + \ frac {1} {2} \ rho \ bigg (v_1 ^ 2 - \ bigg (\ frac {A_1v_1} {A_2} \ bigg) ^ 2 \ bigg)

Folosind densitatea apei la 4 grade Celsius,ρ= 1000 kg / m3, valoarea aP1 = 100 kPa, viteza inițială av1 = 1,5 m / s și suprafețe deA1 = 5.3 × 10−4 m2 șiA2 = 2.65 × 10−4 m2. Asta da:

\ begin {align} P_2 & = 10 ^ 5 \ text {Pa} + \ frac {1} {2} × 1000 \ text {kg / m} ^ 3 \ bigg ((1.5 \ text {m / s}) ^ 2 - \ bigg (\ frac {5.3 × 10 ^ {- 4} \ text {m} ^ 2 × 1,5 \ text {m / s}} {2,65 × 10 ^ {- 4} \ text {m} ^ 2} \ bigg) ^ 2 \ bigg) \\ & = 9,66 × 10 ^ 4 \ text {Pa} \ end {align}

După cum a prezis principiul lui Bernoulli, presiunea scade atunci când există o creștere a vitezei de la conducta de constrângere. Calculul celeilalte părți a acestui proces implică practic același lucru, cu excepția inversului. Din punct de vedere tehnic, vor exista unele pierderi în timpul constricției, dar pentru un sistem simplificat în care nu trebuie să țineți cont de vâscozitate, acesta este un rezultat acceptabil.

Alte exemple ale principiului lui Bernoulli

Câteva alte exemple ale principiului lui Bernoulli în acțiune pot ajuta la clarificarea conceptelor. Cel mai cunoscut este exemplul care provine din aerodinamică și din studiul proiectării aripilor de avion sau a profilelor aeriene (deși există câteva neînțelegeri minore cu privire la detalii).

Partea superioară a unei aripi de avion este curbată în timp ce partea inferioară este plană și deoarece fluxul de aer trece de la o margine a aripa la cealaltă în perioade egale de timp, aceasta duce la o presiune mai mică pe partea superioară a aripii decât pe partea inferioară a aripă. Diferența de presiune însoțitoare (conform principiului lui Bernoulli) creează forța de ridicare care dă ridicarea avionului și îl ajută să coboare de la sol.

Centralele hidroelectrice depind, de asemenea, de principiul Bernoulli pentru a funcționa, într-unul din cele două moduri. În primul rând, într-un baraj hidroelectric, apa dintr-un rezervor circulă pe niște tuburi mari numite penstocks, înainte de a lovi o turbină la capăt. În ceea ce privește ecuația lui Bernoulli, energia potențială gravitațională scade pe măsură ce apa se deplasează pe conductă, dar în multe modele, apa iese lala felviteză. Prin ecuație, este clar că trebuie să fi existat o schimbare a presiunii pentru a echilibra ecuația și, într-adevăr, acest tip de turbină își ia energia din energia de presiune din fluid.

Probabil că un tip de turbină mai simplu de înțeles se numește turbină cu impuls. Acest lucru funcționează prin reducerea dimensiunii tubului înainte de turbină (folosind o duză), ceea ce crește viteza apei (conform ecuației de continuitate) și reduce presiunea (de Bernoulli’s principiu). Transferul de energie în acest caz provine din energia cinetică a apei.

Teachs.ru
  • Acțiune
instagram viewer