Energia cinetică de rotațiedescrie energia mișcării rezultată din rotația sau mișcarea circulară a unui obiect. Reamintim căenergie cinetică liniarăa unei masemdeplasându-se cu vitezăveste dat de 1 / 2mv2. Acesta este un calcul simplu pentru orice obiect care se mișcă pe o linie dreaptă. Se aplică centrului de masă al obiectului, permițând ca obiectul să fie aproximat ca masă punctuală.
Acum, dacă vrem să descriem energia cinetică a unui obiect extins care suferă o mișcare mai complexă, calculul devine mai complicat.
Am putea face aproximări succesive împărțind obiectul extins în bucăți mici, fiecare dintre ele putând fi aproximate ca a masă punctuală, apoi calculați energia cinetică liniară pentru fiecare masă punctuală separat și adăugați-le pe toate pentru a găsi totalul pentru obiect. Cu cât divizăm obiectul mai mic, cu atât este mai bună aproximarea. În limita în care piesele devin infinitesimale, acest lucru se poate face cu calcul.
Dar avem noroc! Când vine vorba de mișcare de rotație, există o simplificare. Pentru un obiect rotativ, dacă descriem distribuția masei sale în jurul axei de rotație în termeni de moment de inerție,
Eu, suntem apoi capabili să folosim o ecuație simplă de energie cinetică de rotație, discutată mai târziu în acest articol.Moment de inerție
Moment de inerțieeste o măsură a cât de dificil este să faci ca un obiect să-și schimbe mișcarea de rotație în jurul unei anumite axe. Momentul de inerție pentru un obiect rotativ depinde nu numai de masa obiectului, ci și de modul în care masa este distribuită în jurul axei de rotație. Cu cât este mai îndepărtată de axa în care este distribuită masa, cu atât este mai greu să-și schimbe mișcarea de rotație și, prin urmare, este mai mare momentul de inerție.
Unitățile SI pentru moment de inerție sunt kgm2 (ceea ce este în concordanță cu noțiunea noastră că depinde de masă și de distanța față de axa de rotație). Momentele de inerție pentru diferite obiecte pot fi găsite într-un tabel sau din calcul.
sfaturi
Momentul de inerție pentru orice obiect poate fi găsit folosind calculul și formula pentru momentul de inerție al unei mase punctuale.
Ecuația energiei cinetice rotaționale
Formula pentru energia cinetică de rotație este dată de:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
UndeEueste momentul de inerție al obiectului șiωeste viteza unghiulară a obiectului în radiani pe secundă (rad / s). Unitatea SI pentru energia cinetică de rotație este joul (J).
Forma formulei de energie cinetică de rotație este analogă ecuației de energie cinetică de translație; momentul de inerție joacă rolul masei, iar viteza unghiulară înlocuiește viteza liniară. Rețineți că ecuația energiei cinetice rotaționale dă același rezultat pentru o masă punctuală ca și ecuația liniară.
Dacă ne imaginăm o masă punctualămdeplasându-se într-un cerc de razărcu vitezav, atunci viteza sa unghiulară este ω = v / r și momentul său de inerție este mr2. Ambele ecuații ale energiei cinetice dau același rezultat, așa cum era de așteptat:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\ cancel {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Dacă un obiect este atât în rotație, cât și centrul său de masă se deplasează de-a lungul unei linii drepte (așa cum se întâmplă cu o anvelopă rulantă, de exemplu), atuncienergie cinetică totalăeste suma energiei cinetice de rotație și a energiilor cinetice de translație:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Exemple folosind formula de energie cinetică de rotație
Formula energiei cinetice de rotație are multe aplicații. Poate fi folosit pentru a calcula energia cinetică simplă a unui obiect care se rotește, pentru a calcula energia cinetică a un obiect rulant (un obiect care suferă atât mișcare de rotație, cât și mișcare de translație) și de rezolvat pentru altul necunoscute. Luați în considerare următoarele trei exemple:
Exemplul 1:Pământul se rotește în jurul axei sale aproximativ o dată la 24 de ore. Dacă presupunem că are o densitate uniformă, care este energia sa cinetică de rotație? (Raza pământului este de 6,37 × 106 m, iar masa sa este de 5,97 × 1024 kg.)
Pentru a găsi energia cinetică de rotație, trebuie mai întâi să găsim momentul de inerție. Aproximând Pământul ca o sferă solidă, obținem:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5,97 \ times10 ^ {24} \ text {kg}) (6,37 \ times10 ^ 6 \ text {m}) ^ 2 = 9,69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2
Viteza unghiulară este de 2π radiani / zi. Conversia acestuia în rad / s oferă:
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ cancel {\ text {day}}} \ frac {1 \ cancel {\ text {day}}} {86400 \ text {seconds}} = 7,27 \ times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
Deci energia cinetică de rotație a Pământului este atunci:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9,69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2) (7,27 \ times10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2,56 \ ori 10 ^ {29} \ text {J}
Fapt amuzant: aceasta este de peste 10 ori energia totală pe care soarele o emite într-un minut!
Exemplul 2:Un cilindru uniform de masă 0,75 kg și rază 0,1 m se rostogolește pe podea la o viteză constantă de 4 m / s. Care este energia sa cinetică?
Energia cinetică totală este dată de:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
În acest caz, I = 1/2 mr2 este momentul de inerție pentru un cilindru solid șiωeste legată de viteza liniară prin ω = v / r.
Simplificarea expresiei pentru energia cinetică totală și conectarea valorilor oferă:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ text {kg}) (4 \ text {m / s}) = 2,25 \ text {J}
Rețineți că nici măcar nu a fost nevoie să folosim raza! S-a anulat din cauza relației directe dintre viteza de rotație și viteza liniară.
Exemplul 3:Un student pe o bicicletă coboară pe un deal din odihnă. Dacă înălțimea verticală a dealului este de 30 m, cât de repede merge studentul în partea de jos a dealului? Să presupunem că bicicleta cântărește 8 kg, călărețul cântărește 50 kg, fiecare roată cântărește 2,2 kg (inclusă în greutatea bicicletei) și fiecare roată are un diametru de 0,7 m. Aproximați roțile ca cercuri și presupuneți că fricțiunea este neglijabilă.
Aici putem folosi conservarea mecanică a energiei pentru a găsi viteza finală. Energia potențială din vârful dealului este transformată în energie cinetică în partea de jos. Această energie cinetică este suma energiei cinetice de translație a întregii persoane + sistemul de biciclete și a energiilor cinetice de rotație ale anvelopelor.
Energia totală a sistemului:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ text {kg} + 8 \ text {kg}) (9.8 \ text {m / s} ^ 2) (30 \ text {m}) = 17.052 \ text {J}
Formula energiei totale din punct de vedere al energiilor cinetice de la baza dealului este:
E_ {tot} = KE_ {bottom} = \ frac {1} {2} I_ {tires} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (de 2 \ ori m_ {pneu} \ ori r_ {tire} ^ 2) (v / r_ {tire}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {tire} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {tire} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Rezolvarea pentruvdă:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {tire} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
În cele din urmă, conectând numerele, primim răspunsul nostru:
v = \ sqrt {\ frac {17.052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23.4 \ text {m / s}