Rezolvarea misterelor electromagnetismului a fost una dintre cele mai mari realizări ale fizicii până în prezent, iar lecțiile învățate sunt pe deplin încapsulate în ecuațiile lui Maxwell.
James Clerk Maxwell își dă numele acestor patru ecuații elegante, dar acestea sunt punctul culminant al deceniilor de muncă a multor fizicieni, inclusiv Michael Faraday, Andre-Marie Ampere și Carl Friedrich Gauss - care își dau numele la trei dintre cele patru ecuații - și la multe alții. În timp ce Maxwell însuși a adăugat doar un termen la una dintre cele patru ecuații, a avut previziune și înțelegere colectează cele mai bune lucrări care au fost făcute pe această temă și prezintă-le într-un mod folosit încă de fizicienii de azi.
Mulți, mulți ani, fizicienii credeau că electricitatea și magnetismul erau forțe separate și fenomene distincte. Dar prin munca experimentală a unor oameni precum Faraday, a devenit din ce în ce mai clar că erau de fapt două părți ale același fenomen, iar ecuațiile lui Maxwell prezintă această imagine unificată care este încă la fel de valabilă astăzi ca și în al 19-lea secol. Dacă urmează să studiezi fizica la niveluri superioare, trebuie absolut să știi ecuațiile lui Maxwell și cum să le folosești.
Ecuațiile lui Maxwell
Ecuațiile lui Maxwell sunt următoarele, atât în forma diferențială, cât și în forma integrală. (Rețineți că, deși cunoașterea ecuațiilor diferențiale este utilă aici, o înțelegere conceptuală este posibilă chiar și fără aceasta.)
Legea lui Gauss pentru electricitate
Forma diferențială:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Formă integrală:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Fără lege monopolică / Legea lui Gauss pentru magnetism
Forma diferențială:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Formă integrală:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Legea inducției lui Faraday
Forma diferențială:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
Formă integrală:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
Ampere-Maxwell Law / Ampere’s Law
Forma diferențială:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Formă integrală:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Simboluri utilizate în ecuațiile lui Maxwell
Ecuațiile lui Maxwell utilizează o selecție destul de mare de simboluri și este important să înțelegeți ce înseamnă acestea dacă veți învăța să le aplicați. Iată deci o deficiență a semnificațiilor simbolurilor utilizate:
B= câmp magnetic
E= câmp electric
ρ= densitatea sarcinii electrice
ε0= permitivitatea spațiului liber = 8.854 × 10-12 m-3 kg-1 s4 A2
q= sarcina electrică totală (suma netă a sarcinilor pozitive și a sarcinilor negative)
𝜙B = flux magnetic
J= densitatea curentului
Eu= curent electric
c= viteza luminii = 2.998 × 108 Domnișoară
μ0 = permeabilitatea spațiului liber = 4π × 10−7 n / A2
În plus, este important să știm că ∇ este operatorul del, un punct între două cantități (X ∙ Da) arată un produs scalar, un simbol de multiplicare cu caractere aldine între două cantități este un produs vector (X × Da), că operatorul del cu un punct se numește „divergență” (de exemplu, ∇ ∙ X= divergența deX= divX) și un operator del cu un produs scalar se numește buclă (de exemplu, ∇× Da= bucla deDa= curlDa). În cele din urmă,Aîn dAînseamnă suprafața suprafeței închise pentru care calculați (uneori scrisă ca dS), sisîn dseste o parte foarte mică a limitei suprafeței deschise pentru care calculați (deși uneori aceasta este dl, referindu-se la o componentă de linie infinit de mică).
Derivarea ecuațiilor
Prima ecuație a ecuațiilor lui Maxwell este legea lui Gauss și afirmă că fluxul electric net printr-o suprafața închisă este egală cu sarcina totală conținută în interiorul formei împărțită la permisivitatea liberului spaţiu. Această lege poate fi derivată din legea lui Coulomb, după ce a făcut pasul important de exprimare a legii lui Coulomb în termeni de câmp electric și efectul pe care l-ar avea asupra unei sarcini de testare.
A doua dintre ecuațiile lui Maxwell este în esență echivalentă cu afirmația că „nu există monopoli magnetici”. Se afirmă că fluxul magnetic net printr-o suprafață închisă va fi întotdeauna 0, deoarece câmpurile magnetice sunt întotdeauna rezultatul unui dipol. Legea poate fi derivată din legea Biot-Savart, care descrie câmpul magnetic produs de un element curent.
A treia ecuație - legea inducției Faraday - descrie modul în care un câmp magnetic în schimbare produce o tensiune într-o buclă de sârmă sau conductor. A fost inițial derivat dintr-un experiment. Cu toate acestea, dat fiind rezultatul că un flux magnetic în schimbare induce o forță electromotivă (CEM sau tensiune) și, prin urmare, un curent electric într-o bucla de sârmă și faptul că EMF este definită ca integrală de linie a câmpului electric din jurul circuitului, legea este ușor de pus împreună.
A patra și ultima ecuație, legea lui Ampere (sau legea Ampere-Maxwell pentru a-i acorda credit pentru a lui contribuție) descrie modul în care un câmp magnetic este generat de o sarcină în mișcare sau de o schimbare electrică camp. Legea este rezultatul experimentului (și astfel - la fel ca toate ecuațiile lui Maxwell - nu a fost „derivată” într-un sens tradițional), ci folosindTeorema lui Stokeseste un pas important în obținerea rezultatului de bază în forma utilizată astăzi.
Exemple de ecuații ale lui Maxwell: Legea lui Gauss
Pentru a fi franc, mai ales dacă nu sunteți exact pe calculul dvs. vector, ecuațiile lui Maxwell par destul de descurajante, în ciuda cât de relativ compacte sunt toate. Cel mai bun mod de a le înțelege cu adevărat este să parcurgeți câteva exemple de utilizare a acestora în practică, iar legea lui Gauss este cel mai bun loc pentru a începe. Legea lui Gauss este în esență o ecuație mai fundamentală care face treaba legii lui Coulomb și este destul de ușor să derivăm legea lui Coulomb din aceasta luând în considerare câmpul electric produs de un punct încărca.
Apelarea taxeiq, punctul cheie al aplicării legii lui Gauss este alegerea „suprafeței” potrivite pentru a examina fluxul electric. În acest caz, o sferă funcționează bine, care are suprafațăA = 4πr2, deoarece puteți centra sfera pe sarcina punctuală. Acesta este un beneficiu imens pentru rezolvarea unor astfel de probleme, deoarece atunci nu este nevoie să integrați un câmp diferit pe suprafață; câmpul va fi simetric în jurul sarcinii punctuale, și astfel va fi constant pe suprafața sferei. Deci forma integrală:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Poate fi exprimat ca:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Rețineți căEpentru că câmpul electric a fost înlocuit cu o magnitudine simplă, deoarece câmpul dintr-o sarcină punctuală se va răspândi pur și simplu în toate direcțiile de la sursă. Acum, împărțirea prin suprafața sferei dă:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Deoarece forța este legată de câmpul electric deE = F/q, Undeqeste o taxă de testare,F = qE, Așadar:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
Unde s-au adăugat indicii pentru a diferenția cele două taxe. Aceasta este legea lui Coulomb enunțată într-o formă standard, arătată a fi o simplă consecință a legii lui Gauss.
Exemple de ecuații ale lui Maxwell: Legea lui Faraday
Legea lui Faraday vă permite să calculați forța electromotivă într-o buclă de sârmă rezultată dintr-un câmp magnetic în schimbare. Un exemplu simplu este o buclă de sârmă, cu razăr= 20 cm, într-un câmp magnetic care crește în magnitudine de laBeu = 1 T până laBf = 10 T în spațiul lui ∆t= 5 s - care este CEM indusă în acest caz? Forma integrală a legii implică fluxul:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
care este definit ca:
ϕ = BA \ cos (θ)
Partea cheie a problemei aici este găsirea ratei de schimbare a fluxului, dar din moment ce problema este destul de simplă, puteți înlocui derivata parțială cu o simplă „modificare” a fiecărei cantități. Iar integral înseamnă într-adevăr forța electromotivă, astfel încât să puteți rescrie legea inducției Faraday ca:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
Dacă presupunem că bucla de sârmă este aliniată normal cu câmpul magnetic,θ= 0 ° și deci cos (θ) = 1. Aceasta lasă:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}
Problema poate fi apoi rezolvată găsind diferența dintre câmpul magnetic inițial și final și zona buclei, după cum urmează:
\ begin {align} \ text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0,2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0,23 \ text {V } \ end {align}
Aceasta este doar o tensiune mică, dar legea lui Faraday se aplică în același mod, indiferent.
Exemple de ecuații ale lui Maxwell: Legea Ampere-Maxwell
Legea Ampere-Maxwell este ultima dintre ecuațiile lui Maxwell pe care va trebui să le aplicați în mod regulat. Ecuația revine la legea lui Ampere în absența unui câmp electric în schimbare, deci acesta este cel mai ușor exemplu de luat în considerare. Îl puteți folosi pentru a obține ecuația unui câmp magnetic rezultat dintr-un fir drept care transportă un curentEu, iar acest exemplu de bază este suficient pentru a arăta cum este utilizată ecuația. Legea completă este:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Dar fără câmp electric în schimbare se reduce la:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Acum, ca și în legea lui Gauss, dacă alegeți un cerc pentru suprafață, centrat pe bucla de sârmă, intuiția sugerează că câmpul magnetic rezultat va fi simetrică, astfel încât să puteți înlocui integralul cu un produs simplu al circumferinței buclei și al intensității câmpului magnetic, plecare:
B × 2πr = μ_0 I
Împărțirea prin 2πrdă:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Care este expresia acceptată pentru câmpul magnetic la distanțărrezultat dintr-un fir drept care transportă un curent.
Undele electromagnetice
Când Maxwell și-a asamblat setul de ecuații, a început să găsească soluții pentru a le explica diverse fenomenele din lumea reală, iar înțelegerea pe care a dat-o în lumină este unul dintre cele mai importante rezultate ale lui obținut.
Deoarece un câmp electric în schimbare generează un câmp magnetic (conform legii lui Ampere) și un câmp magnetic în schimbare generează un câmp electric (conform legii lui Faraday), Maxwell a stabilit că ar putea fi o undă electromagnetică auto-propagată posibil. El și-a folosit ecuațiile pentru a găsi ecuația undei care ar descrie o astfel de undă și a stabilit că aceasta va călători cu viteza luminii. Acesta a fost un fel de „eureka”; și-a dat seama că lumina este o formă de radiație electromagnetică, funcționând exact ca câmpul pe care și l-a imaginat!
O undă electromagnetică constă dintr-o undă de câmp electric și o undă de câmp magnetic oscilând înainte și înapoi, aliniate în unghi drept unul cu celălalt. Oscilația părții electrice a undei generează câmpul magnetic, iar oscilația acestei părți produce la rândul său un câmp electric din nou, continuu și continuu pe măsură ce se deplasează prin spațiu.
Ca orice altă undă, o undă electromagnetică are o frecvență și o lungime de undă, iar produsul acestora este întotdeauna egal cuc, viteza luminii. Undele electromagnetice sunt în jurul nostru și, la fel ca și lumina vizibilă, alte lungimi de undă sunt denumite frecvent unde radio, microunde, infraroșu, ultraviolet, raze X și raze gamma. Toate aceste forme de radiații electromagnetice au aceeași formă de bază explicată de ecuațiile lui Maxwell, dar energiile lor variază în funcție de frecvență (adică, o frecvență mai mare înseamnă o energie mai mare).
Deci, pentru un fizician, Maxwell a fost cel care a spus: „Să fie lumină!”