Stăpânirea conceptelor de sinus și cosinus este o parte integrantă a trigonometriei. Dar odată ce aveți aceste idei sub curea, acestea devin elementele de bază pentru alte instrumente utile în trigonometrie și, mai târziu, în calcul. De exemplu, „legea cosinusului” este o formulă specială pe care o puteți folosi pentru a găsi partea lipsă a unui triunghi dacă știți lungimea celorlalte două laturi plus unghiul dintre ele sau pentru a găsi unghiurile unui triunghi când le cunoașteți pe toate laturile.
Legea cosinusilor
Legea cosinusului vine în mai multe versiuni, în funcție de unghiurile sau laturile triunghiului cu care aveți de-a face:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
In fiecare caz,A, bșicsunt laturile unui triunghi șiA, B, sauCeste unghiul opus laturii aceleiași litere. Asa deAeste unghiul laturii opusea, Beste unghiul laturii opuseb, șiCeste unghiul laturii opusec. Aceasta este forma ecuației pe care o utilizați dacă găsiți lungimea uneia dintre laturile triunghiului.
Legea cosinusului poate fi, de asemenea, rescrisă în versiuni care facilitează găsirea oricăruia dintre cele trei unghiuri ale triunghiului, presupunând că știți lungimile tuturor celor trei laturi ale triunghiului:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Rezolvarea pentru o parte
Pentru a utiliza legea cosinusului pentru a rezolva latura unui triunghi, aveți nevoie de trei informații: lungimile celorlalte două laturi ale triunghiului, plus unghiul dintre ele. Alegeți versiunea formulei în care partea pe care doriți să o găsiți este în stânga ecuației, iar informațiile pe care le aveți deja sunt în dreapta. Deci, dacă doriți să găsiți lungimea laturiiA, ați folosi versiunea
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Înlocuiți valorile celor două laturi cunoscute și unghiul dintre ele în formulă. Dacă triunghiul tău are laturi cunoscutebșiccare măsoară 5 unități și respectiv 6 unități, iar unghiul dintre ele măsoară 60 de grade (care s-ar putea exprima și în radiani ca π / 3), ai avea:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Utilizați un tabel sau calculatorul dvs. pentru a căuta valoarea cosinusului; în acest caz, cos (60) = 0,5, oferindu-vă ecuația:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Simplificați rezultatul pasului 2. Acest lucru vă oferă:
a ^ 2 = 25 + 36 - 30
Ceea ce la rândul său se simplifică la:
a ^ 2 = 31
Luați rădăcina pătrată a ambelor părți pentru a termina rezolvareaA. Acest lucru vă lasă cu:
a = \ sqrt {31}
În timp ce ați putea utiliza o diagramă sau calculatorul dvs. pentru a estima valoarea √31 (este 5.568), vi se va permite adesea - și chiar încurajați - să lăsați răspunsul în forma sa radicală mai precisă.
Rezolvarea pentru un unghi
Puteți aplica același proces pentru a găsi oricare dintre unghiurile triunghiului dacă cunoașteți toate cele trei laturi ale acestuia. De data aceasta, veți alege versiunea formulei care pune unghiul lipsă sau „nu știu” în partea stângă a semnului egal. Imaginați-vă că doriți să găsiți măsura unghiului C (care, amintiți-vă, este definit ca unghiul laturii opusec). Ați folosi această versiune a formulei:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Înlocuiți valorile cunoscute - în acest tip de problemă, adică lungimile tuturor celor trei laturi ale triunghiului - în ecuație. De exemplu, lăsați să fie laturile triunghiuluiA= 3 unități,b= 4 unități șic= 25 de unități. Deci ecuația ta devine:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Odată ce simplificați ecuația rezultată, veți avea:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
sau pur și simplu cos (C) = 0.
Calculați cosinusul invers sau cosinusul arc al lui 0, notat adesea ca cos-1(0). Sau, cu alte cuvinte, care unghi are un cosinus de 0? De fapt, există două unghiuri care returnează această valoare: 90 de grade și 270 de grade. Dar, prin definiție, știți că fiecare unghi dintr-un triunghi trebuie să fie mai mic de 180 de grade, astfel încât să lase doar 90 de grade ca opțiune.
Deci, măsura unghiului lipsă este de 90 de grade, ceea ce înseamnă că se întâmplă să aveți de-a face cu un triunghi dreptunghiular, deși această metodă funcționează și cu triunghiuri care nu sunt dreptunghiulare.
