Ce se întâmplă când crești un număr la o fracțiune?

Când „ridicați un număr la o putere”, înmulțiți numărul cu el însuși, iar „puterea” reprezintă de câte ori faceți acest lucru. Deci 2 ridicat la a 3-a putere este același cu 2 x 2 x 2, care este egal cu 8. Cu toate acestea, când ridicați un număr la o fracție, mergeți în direcția opusă - încercați să găsiți „rădăcina” numărului.

Termenul matematic pentru ridicarea unui număr la o putere este „exponențierea”. O expresie exponențială are două părți: baza, care este numărul pe care îl ridicați și exponentul, care este „puterea”. Deci, când ridicați 2 la a 3-a putere, baza este 2 și exponentul este 3. Ridicarea bazei la a 2-a putere se numește în mod obișnuit pătratul bazei, în timp ce ridicarea acesteia la a 3-a putere se numește de obicei cubizarea bazei. Matematicienii scriu de obicei expresii exponențiale cu exponentul în supercript - adică ca un număr mic în dreapta sus a bazei. Deoarece unele computere, calculatoare și alte dispozitive nu se descurcă foarte bine cu supercript, expresiile exponențiale sunt, de asemenea, scrise în mod obișnuit astfel: 2 ^ 3. Carațul - simbolul îndreptat în sus - vă spune că ceea ce urmează este exponentul.

În matematică, „rădăcinile” seamănă puțin cu exponenții în sens invers. De exemplu, luați „2 la a 4-a putere”, prescurtat ca 2 ^ 4. Este egal cu 2 x 2 x 2 x 2 sau 16. Deoarece 2 înmulțit de patru ori este egal cu 16, „a 4-a rădăcină” a lui 16 este 2. Uită-te acum la numărul 729. Aceasta se descompune la 9 x 9 x 9 - deci 9 este a treia rădăcină a lui 729. De asemenea, se descompune la 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 - deci 3 este a 6-a rădăcină a lui 729. A doua rădăcină a unui număr este denumită în mod obișnuit rădăcină pătrată, iar a treia rădăcină este rădăcină cubică.

Când exponentul este o fracțiune, căutați o rădăcină a bazei. Rădăcina corespunde numitorului fracției. De exemplu, luați „125 ridicat la puterea 1/3” sau 125 ^ 1/3. Numitorul fracției este 3, deci căutați a 3-a rădăcină (sau rădăcină cub) a 125. Deoarece 5 x 5 x 5 = 125, a treia rădăcină a lui 125 este 5. Astfel, 125 ^ 1/3 = 5. Acum încercați 256 ^ 1/4. Căutați a 4-a rădăcină a 256. Deoarece 4 x 4 x 4 x 4 = 256, răspunsul este 4.

exponenți fracționari discutate până la acest punct - 1/3 și 1/4 - au avut fiecare câte un numărător de 1. Dacă numeratorul este altceva decât 1, exponentul vă instruiește de fapt să efectuați două operații: găsirea unei rădăcini și ridicarea la o putere. De exemplu, luați 8 ^ 2/3. Numitorul „3” vă spune că sunteți în căutarea unei rădăcini cub; numeratorul „2” îți spune că vei crește la a doua putere. Nu contează ce operație efectuați mai întâi. Veți obține același rezultat în ambele sensuri. Așadar, ați putea începe prin a lua a 3-a rădăcină a lui 8, care este 2, și apoi a ridica asta la a 2-a putere, ceea ce ar da 4. Sau ați putea începe prin a ridica 8 la a 2-a putere, care este egală cu 64, și apoi a lua a 3-a rădăcină a acelui număr, care este 4. Același rezultat.

De fapt, regula „numărător ca putere, numitor ca rădăcină” se aplică tuturor exponenților - chiar exponenților cu număr întreg și exponenților fracționari cu un numărător de 1. De exemplu, întregul număr 2 este echivalentul fracției 2/1. Deci expresia exponențială 9 ^ 2 este „într-adevăr” 9 ^ 2/1. Creșterea 9 la a 2-a putere îți dă 81. Acum trebuie să obțineți „prima rădăcină” a 81. Dar prima rădăcină a oricărui număr este numărul în sine, deci răspunsul rămâne 81. Uită-te acum la expresia 9 ^ 1/2. Ai putea începe prin a ridica 9 la „prima putere”. Dar orice număr ridicat la prima putere este numărul în sine. Deci, tot ce trebuie să faceți este să obțineți rădăcina pătrată a lui 9, care este 3. Regula se aplică în continuare, dar în aceste situații, puteți sări peste un pas.