În matematică, un reciproc al unui număr este numărul care, înmulțit cu numărul original, produce 1. De exemplu, reciprocul pentru variabila x este 1 /X, deoarece
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
În acest exemplu, 1 /Xeste identitatea reciprocă aX, si invers. În trigonometrie, oricare dintre unghiurile care nu sunt de 90 de grade într-un triunghi dreptunghiular poate fi definit prin rapoarte numite sinus, cosinus și tangentă. Aplicând conceptul de identități reciproce, matematicienii definesc încă trei rapoarte. Numele lor sunt cosecante, secante și cotangente. Cosecantul este identitatea reciprocă a sinusului, secantă a cosinusului și cotangentă a tangenței.
Cum se determină identități reciproce
Luați în considerare un unghiθ, care este unul dintre cele două unghiuri de 90 de grade dintr-un triunghi dreptunghiular. Dacă lungimea laturii triunghiului opus unghiului este "b, "lungimea laturii adiacente unghiului și opusă hipotenuzelor este"A"iar lungimea hipotenuzei este"r, "putem defini cele trei rapoarte trigonometrice primare în termenii acestor lungimi.
\ text {sine} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {cosine} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {tangent} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
Identitatea reciprocă a păcatuluiθtrebuie să fie egal cu 1 / păcat θ, deoarece acesta este numărul care, înmulțit cu păcatulθ, produce 1. Același lucru este valabil și pentru cosθși bronzθ. Matematicienii dau acestor reciproce numele cosecant, secant și respectiv cotangent. Prin definitie:
\ text {cosecant} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secant} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {cotangent} θ = \ cot θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Puteți defini aceste identități reciproce în termenii lungimilor laturilor triunghiului dreptunghiular după cum urmează:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
Următoarele relații sunt adevărate pentru orice unghiθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \\ \ tan θ × \ cot θ = 1
Alte două identități trigonometrice
Dacă cunoașteți sinusul și cosinusul unui unghi, puteți obține tangenta. Acest lucru este adevărat pentru că
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {și} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {, deci} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
Deoarece aceasta este definiția tanului θ, urmează următoarea identitate, cunoscută sub numele de identitate coeficientă:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ cot θ
Identitatea pitagorică rezultă din faptul că, pentru orice triunghi dreptunghiular cu laturiAșibși hipotenuzăr, următoarele sunt adevărate:A2 + b2 = r2. Rearanjând termenii și definind raporturile în termeni de sinus și cosinus, ajungeți la următoarea expresie:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
Urmează alte două relații importante atunci când introduceți identități reciproce pentru sinus și cosinus în expresia de mai sus:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ cot ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ