La fel ca în algebră, când începeți să învățați trigonometria, veți acumula seturi de formule care sunt utile pentru rezolvarea problemelor. Un astfel de set este identitatea cu unghi de jumătate, pe care o puteți utiliza în două scopuri. Una este convertirea funcțiilor trigonometrice ale (θ/ 2) în funcții în ceea ce privește cele mai familiare (și mai ușor de manipulat)θ. Cealaltă este de a găsi valoarea reală a funcțiilor trigonometrice aleθ, candθpoate fi exprimat ca jumătate dintr-un unghi mai familiar.
Revizuirea identităților la jumătate de unghi
Multe manuale de matematică vor enumera patru identități principale cu unghi de jumătate. Dar prin aplicarea unui amestec de algebră și trigonometrie, aceste ecuații pot fi masate într-o serie de forme utile. Nu trebuie neapărat să memorezi toate acestea (cu excepția cazului în care profesorul tău insistă), dar ar trebui, cel puțin, să înțelegi cum să le folosești:
Identitate pe jumătate de unghi pentru sin
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Identitate pe jumătate de unghi pentru cosinus
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Identități pe jumătate de unghi pentru tangentă
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Identități pe jumătate de unghi pentru Cotangent
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Un exemplu de utilizare a identităților pe jumătate de unghi
Deci, cum folosiți identitățile cu unghi unghiular? Primul pas este recunoașterea faptului că aveți de-a face cu un unghi care este jumătate dintr-un unghi mai familiar.
- Cadrantul I: toate funcțiile trig
- Cadrantul II: numai sinus și cosecant
- Cadrantul III: numai tangent și cotangent
- Cuadrantul IV: numai cosinus și secant
imaginați-vă că vi se cere să găsiți sinusul unghiului de 15 grade. Acesta nu este unul dintre unghiurile pentru care majoritatea studenților vor memora valorile funcțiilor trig. Dar dacă lăsați 15 grade să fie egale cu θ / 2 și apoi rezolvați pentru θ, veți găsi că:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Deoarece resulting rezultat, 30 de grade, este un unghi mai familiar, folosirea formulei de unghi unghiular aici va fi utilă.
Deoarece vi s-a cerut să găsiți sinusul, există într-adevăr doar o formulă de unghi de unghi din care să alegeți:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Înlocuind înθ/ 2 = 15 grade șiθ= 30 de grade vă oferă:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Dacă vi s-ar fi cerut să găsiți tangenta sau cotangenta, ambele jumătate înmulțind modalitățile de exprimare a identității lor pe jumătate de unghi, ați alege pur și simplu versiunea care arăta cel mai ușor de lucrat.
Semnul ± de la începutul unor identități cu unghi de jumătate înseamnă că rădăcina în cauză ar putea fi pozitivă sau negativă. Puteți rezolva această ambiguitate folosindu-vă cunoștințele despre funcțiile trigonometrice în cadrane. Iată o recapitulare rapidă a funcțiilor trig care revinpozitivvalori în care cadrane:
Deoarece în acest caz unghiul dvs. your reprezintă 30 de grade, care se încadrează în Cuadrantul I, știți că valoarea sinusală pe care o returnează va fi pozitivă. Deci, puteți renunța la semnul ± și pur și simplu evaluați:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Înlocuiți cu valoarea cunoscută, cunoscută a cos (30). În acest caz, utilizați valorile exacte (spre deosebire de aproximările zecimale dintr-un grafic):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Apoi, simplificați partea dreaptă a ecuației dvs. pentru a găsi o valoare pentru păcat (15). Începeți prin înmulțirea expresiei sub radical cu 2/2, ceea ce vă oferă:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
Acest lucru simplifică:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Apoi puteți descompune rădăcina pătrată a 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
În majoritatea cazurilor, acest lucru este în măsura în care ați simplifica. Deși rezultatul poate să nu fie teribil de frumos, ați tradus sinusul unui unghi necunoscut într-o cantitate exactă.