Te-ai întrebat vreodată cum sunt legate funcțiile trigonometrice precum sinusul și cosinusul? Ambele sunt folosite pentru calcularea laturilor și a unghiurilor în triunghiuri, dar relația merge mai departe de atât.Identități de funcțiedați-ne formule specifice care arată cum să convertiți între sinus și cosinus, tangent și cotangent și secant și cosecant.
TL; DR (Prea lung; Nu am citit)
Sinusul unui unghi este egal cu cosinusul complementului său și invers. Acest lucru este valabil și pentru alte cofuncții.
O modalitate ușoară de a vă aminti care funcții sunt cofuncții este că sunt două funcții trigcofuncțiidacă unul dintre ei are prefixul „co-” în față. Asa de:
- sinus sicosine suntcofuncții.
- tangent șicotangente suntcofuncții.
- secant șicosecante suntcofuncții.
Putem calcula înainte și înapoi între cofuncții folosind această definiție: Valoarea unei funcții a unui unghi este egală cu valoarea cofuncției complementului.
Sună complicat, dar în loc să vorbim despre valoarea unei funcții, în general, să folosim un exemplu specific.
Amintiți-vă: Două unghiuri suntcompleteazădacă se adaugă până la 90 de grade.
Identități de funcționare în grade:
(Observați că 90 ° -Xne oferă complementul unui unghi.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ cot (90 ° - x) \\ \ cot (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Identități de funcționare în radieni
Amintiți-vă că putem scrie lucruri și în termeni deradiani, care este unitatea SI pentru măsurarea unghiurilor. Nouăzeci de grade este același cu π / 2 radiani, deci putem scrie și identitățile de cofuncție astfel:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ cot \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cot (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Dovadă identități de funcționare
Toate acestea sună frumos, dar cum putem demonstra că acest lucru este adevărat? Testarea dvs. pe câteva exemple de triunghiuri vă poate ajuta să vă simțiți încrezători în acest sens, dar există și o dovadă algebrică mai riguroasă. Să dovedim identitățile de cofuncție pentru sinus și cosinus. Vom lucra în radiani, dar este același lucru cu utilizarea gradelor.
Dovadă:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
În primul rând, reveniți în memorie la această formulă, pentru că o vom folosi în dovada noastră:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
Am înțeles? O.K. Acum să dovedim: păcatul (X) = cos (π / 2 - x).
Putem rescrie cos (π / 2 -X) ca aceasta:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( X)
pentru că știm
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {și} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Asa de
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Ta-da! Acum să o dovedim cu cosinusul!
Dovadă:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
O altă explozie din trecut: vă amintiți această formulă?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Suntem pe cale să-l folosim. Acum să dovedim:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Putem rescrie păcatul (π / 2 -X) ca aceasta:
\ begin {align} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {align}
pentru că știm
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {și} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Așa că primim
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Calculator de funcții
Încercați câteva exemple de lucru cu cofuncții pe cont propriu. Dar dacă vă blocați, Math Celebrity are un calculator de cofuncție care arată soluții pas cu pas pentru problemele de cofuncție.
Fericit calculând!