Cercurile sunt peste tot în lumea reală, motiv pentru care razele, diametrele și circumferința lor sunt semnificative în aplicațiile din viața reală. Dar există și alte părți ale cercurilor - sectoare și unghiuri, de exemplu - care au importanță și în aplicațiile de zi cu zi. Exemplele includ dimensiunile sectorului de alimente circulare, cum ar fi prăjituri și plăcinte, unghiul parcurs într-o roată, dimensionarea unei anvelope la un anumit vehicul și mai ales dimensionarea unui inel pentru o angrenare sau nuntă. Din aceste motive și nu numai, geometria are, de asemenea, ecuații și calcule de probleme care se ocupă de unghiuri centrale, arce și sectoare ale unui cerc.
Ce este unghiul central?
Unghiul central este definit ca unghiul creat de două raze sau raze care radiază din centrul unui cerc, centrul cercului fiind vârful unghiului central. Unghiurile centrale sunt deosebit de relevante atunci când vine vorba de împărțirea uniformă a pizza sau a oricărui alt aliment cu formă circulară, între un număr stabilit de persoane. Spuneți că sunt cinci persoane la o serată unde trebuie împărțită o pizza mare și un tort mare. Care este unghiul în care trebuie împărțite atât pizza, cât și tortul, pentru a asigura o felie egală pentru toată lumea? Deoarece există 360 de grade într-un cerc, calculul devine 360 de grade împărțit la 5 pentru a ajunge la 72 de grade, astfel încât fiecare felie, indiferent dacă este de pizza sau de tort, va avea un unghi central sau theta (θ), măsurând 72 grade.
Determinarea unghiului central de la lungimea arcului
Un arc al cercului se referă la o „porțiune” a circumferinței cercului. Prin urmare, lungimea arcului este lungimea acelei „porțiuni”. Dacă vă imaginați o felie de pizza, zona sectorului poate fi vizualizat ca întreaga felie de pizza, dar lungimea arcului este lungimea marginii exterioare a crustei pentru aceasta felie specială. Din lungimea arcului se poate calcula unghiul central. Într-adevăr, o formulă care poate ajuta la determinarea unghiului central afirmă că lungimea (arcurile) arcului este egală cu raza de ori a unghiului central sau
s = r × θ
unde unghiul, theta, trebuie măsurat în radiani. Deci, pentru a rezolva unghiul central, theta, trebuie doar să împărțiți lungimea arcului la rază sau
\ frac {s} {r} = θ
Pentru a ilustra, dacă lungimea arcului este de 5,9 și raza este de 3,5329, atunci unghiul central devine 1,67 radiani. Un alt exemplu este dacă lungimea arcului este 2 și raza este 2, unghiul central devine 1 radian. Dacă doriți să convertiți radianii în grade, amintiți-vă că 1 radian este egal cu 180 de grade împărțit la π, sau 57.2958 grade. În schimb, dacă o ecuație cere să convertească grade înapoi în radiani, atunci mai întâi înmulțiți cu π, apoi împărțiți cu 180 de grade.
Determinarea unghiului central din zona sectorului
O altă formulă utilă pentru a determina unghiul central este oferită de zona sectorială, care poate fi vizualizată din nou ca o felie de pizza. Această formulă specială poate fi văzută în două moduri. Primul are unghiul central măsurat în grade, astfel încât aria sectorului să fie egală cu π ori raza pătrată și apoi înmulțită cu cantitatea unghiului central în grade împărțit la 360 grade. Cu alte cuvinte:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {unghiul central în grade}} {360 \ text {grade}} = \ text {sector area}
Dacă unghiul central este măsurat în radiani, formula devine în schimb:
\ text {sector area} = r ^ 2 × \ frac {\ text {unghiul central în radiani}} {2}
Rearanjarea formulelor va ajuta la rezolvarea valorii unghiului central sau theta. Luați în considerare o zonă a sectorului de 52,3 centimetri pătrați cu o rază de 10 centimetri. Care ar fi unghiul său central în grade? Calculele ar începe cu o suprafață a sectorului de 52,3 centimetri pătrați, egală cu:
\ frac {θ} {360 \ text {grade}} × πr ^ 2
Deoarece raza (r) este egal cu 10, întreaga ecuație poate fi scrisă ca:
\ frac {52.3} {100π} × 360
astfel încât theta poate fi scris ca:
\ frac {52.3} {314} × 360
Astfel, răspunsul final devine un unghi central de 60 de grade.