Odată ce începeți să faceți trigonometrie și calcul, puteți întâlni expresii precum păcatul (2θ), unde vi se cere să găsiți valoareaθ. Jucarea de încercări și erori cu diagrame sau un calculator pentru a găsi răspunsul ar varia de la un coșmar extras până la total imposibil. Din fericire, identitățile cu unghi dublu sunt aici pentru a vă ajuta. Acestea sunt instanțe speciale ale ceea ce este cunoscut sub numele de formulă compusă, care rupe funcțiile formelor (A + B) sau (A – B) în funcții de dreptAșiB.
Identitățile cu unghi dublu pentru sin
Există trei identități cu unghi dublu, fiecare pentru funcțiile sinus, cosinus și tangente. Dar identitățile sinusului și cosinusului pot fi scrise în mai multe moduri. Iată cele două moduri de a scrie identitatea cu unghi dublu pentru funcția sinusoidală:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Identitățile cu unghi dublu pentru cosinus
Există și mai multe modalități de a scrie identitatea cu unghi dublu pentru cosinus:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1 - 2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Identitatea cu unghi dublu pentru tangentă
Cu milă, există doar o modalitate de a scrie identitatea cu unghi dublu pentru funcția tangentă:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Utilizarea identităților cu unghi dublu
Imaginați-vă că vă confruntați cu un triunghi dreptunghiular în care știți lungimea laturilor sale, dar nu măsura unghiurilor sale. Ti s-a cerut sa gasestiθ, Undeθeste unul dintre unghiurile triunghiului. Dacă hipotenuza triunghiului măsoară 10 unități, latura adiacentă unghiului tău măsoară 6 unități iar latura opusă unghiului măsoară 8 unități, nu contează că nu știți măsuraθ; vă puteți folosi cunoștințele despre sinus și cosinus, plus una dintre formulele cu unghi dublu, pentru a găsi răspunsul.
Odată ce ați ales un unghi, puteți defini sinusul ca raportul laturii opuse peste hipotenuză, iar cosinusul ca raport al laturii adiacente peste hipotenuză. Deci, în exemplul dat recent, aveți:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Găsiți aceste două expresii, deoarece acestea sunt cele mai importante elemente de bază pentru formulele cu unghi dublu.
Deoarece există atât de multe formule cu unghi dublu dintre care puteți alege, îl puteți selecta pe cel care pare mai ușor de calculat și va returna tipul de informații de care aveți nevoie. În acest caz, pentru că știi păcatulθși cosθdeja, este clar că cea mai convenabilă expresie este:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Știți deja valorile sinθ și cosθ, așa că înlocuiți-le în ecuație:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
După simplificare, veți avea:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
Cele mai multe diagrame trigonometrice sunt date în zecimale, așa că apoi se lucrează diviziunea reprezentată de fracție pentru ao converti în formă zecimală. Acum ai:
\ sin (2θ) = 0,96
În cele din urmă, găsiți sinusul invers sau arcsinul de 0,96, care este scris ca păcat −1(0.96). Sau, cu alte cuvinte, utilizați calculatorul sau o diagramă pentru a aproxima unghiul care are un sinus de 0,96. După cum se dovedește, acesta este aproape exact egal cu 73,7 grade. Deci 2θ= 73,7 grade.
Împărțiți fiecare parte a ecuației cu 2. Acest lucru vă oferă:
θ = 36,85 \ text {grade}