Un poligon este orice figură bidimensională închisă cu 3 sau mai multe laturi drepte (nu curbate), iar un poligon cu 12 fețe este cunoscut sub numele de dodecagon. Un dodecagon obișnuit este unul cu laturi și unghiuri egale și este posibil să se obțină o formulă pentru calcularea ariei sale. Un dodecagon neregulat are laturi de diferite lungimi și unghiuri diferite. O stea cu șase colțuri este un exemplu. Nu există nici o modalitate ușoară de a calcula aria unei figuri neregulate pe 12 fețe, cu excepția cazului în care se întâmplă să o trimiți pe un grafic și să poți citi coordonatele fiecărui vârf. Dacă nu, cea mai bună strategie este să împărțiți figura în forme regulate pentru care puteți calcula aria.
Calculul ariei unui poligon regulat pe 12 fețe
Pentru a calcula aria unui dodecagon obișnuit, trebuie să-i găsiți centrul, iar cel mai bun mod de a face acest lucru este să scrieți un cerc în jurul său care să atingă fiecare vârf. Centrul cercului este centrul dodecagonului, iar distanța de la centrul figurii la fiecare dintre vârfurile sale este pur și simplu raza cercului (
r). Fiecare dintre cele 12 laturi ale figurii are aceeași lungime, deci denotați acest lucru prins.Aveți nevoie de încă o măsurătoare și aceasta este lungimea unei linii perpendiculare trasate de la mijlocul fiecărei părți până la centrul formei cu 12 fețe. Această linie este cunoscută sub numele de apotemă. Indicați lungimea acestuia cum. Împarte fiecare secțiune formată din liniile de rază în două triunghiuri dreptunghiulare. Nu știim, dar o puteți găsi folosind teorema lui Pitagora.
Cele 12 linii de rază împart cercul pe care l-ați înscris în jurul dodecagonului în 12 secțiuni egale, astfel încât în centrul figurii, unghiul pe care fiecare linie îl face cu cel de lângă el este de 30 de grade. Fiecare dintre cele 12 secțiuni formate din liniile de rază este alcătuită dintr-o pereche de triunghiuri dreptunghiulare cu hipotenuzărși un unghi de 15 grade. Partea adiacentă unghiului estem, deci îl puteți găsi folosind r și sinusul unghiului.
\ sin (15) = \ frac {m} {r} \, \ text {și rezolvați pentru} m \\ m = r × \ sin (15)
Acum puteți găsi aria fiecărui triunghi isoscel înscris în dodecagon, deoarece știți lungimea bazei - care estes- și înălțimea,m. Aria fiecărui triunghi este
\ begin {align} \ text {area} & = \ frac {1} {2} × \ text {base} × \ text {height} \\ & = \ frac {1} {2} × s × m \\ & = 1/2 × (s × r × \ sin (15)) \ end {align}
Există 12 astfel de secțiuni, deci înmulțiți-vă cu 12 pentru a găsi aria totală a formei obișnuite pe 12 fețe:
\ text {Area of dodecagon regular} = 6 × (s × r × \ sin (15))
Găsirea zonei unui Dodecagon neregulat
Nu există nicio formulă pentru găsirea ariei unui dodecagon neregulat, deoarece lungimile laturilor și unghiurilor nu sunt aceleași. Este chiar dificil să identifici centrul. Cea mai bună strategie este să împărțiți figura în forme regulate, să calculați aria fiecăreia și să le adăugați.
Dacă forma este reprezentată pe un grafic și cunoașteți coordonatele vârfurilor, există o formulă pe care o puteți utiliza pentru a calcula suprafața. Dacă fiecare punct (n) este definit de (Xn, yn), și întoarceți cifra în ordine, fie în sensul acelor de ceasornic, fie în sens invers acelor de ceasornic, pentru a obține o serie de 12 puncte, aria este:
\ text {Area} = \ frac {| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) +... + (x_ {11} y_ {12} - y_ {11} x_ {12}) + (x_ {12} y_1 - y_ {12} x_1) |} {2}