În timp ce cuvintele în engleză „secvență” și „serie” au semnificații similare, în matematică sunt concepte complet diferite. O secvență este o listă de numere plasate într-o ordine definită, în timp ce o serie este suma unei astfel de liste de numere. Există multe tipuri de secvențe, inclusiv cele bazate pe liste infinite de numere. Diferite secvențe și seriile corespunzătoare au proprietăți diferite și pot da rezultate surprinzătoare.
TL; DR (Prea lung; Nu am citit)
Secvențele sunt liste de numere plasate într-o ordine definită conform regulilor date. Seria corespunzătoare unei secvențe este suma numerelor din acea secvență. Seria poate fi aritmetică, ceea ce înseamnă că există o diferență fixă între numerele seriei sau geometrice, ceea ce înseamnă că există un factor fix. Seriile infinite nu au un număr final, dar pot avea totuși o sumă fixă în anumite condiții.
Tipuri de secvențe și serii
Secvențele comune sunt aritmetice sau geometrice. Într-o secvență aritmetică, fiecare număr sau termen al secvenței diferă de termenul anterior cu aceeași cantitate. De exemplu, dacă o diferență de secvență aritmetică este 2, o secvență aritmetică corespunzătoare ar putea fi 1, 3, 5... Dacă diferența este -3, o secvență ar putea fi 4, 1, -2... Secvența aritmetică este definită de numărul de pornire și de diferență.
Pentru secvențe geometrice, termenii diferă de un factor. De exemplu, o secvență cu un factor 2 ar putea fi 2, 4, 8... iar o secvență cu un factor de 0,75 ar putea fi 32, 24, 18... Secvența geometrică este definită de numărul de pornire și de factor.
Tipurile de serii depind de secvența care se adaugă. O serie aritmetică adaugă termenii unei secvențe aritmetice, iar o serie geometrică adaugă o secvență geometrică.
Secvențe și serii finite și infinite
Secvențele și seria corespunzătoare pot fi bazate pe un număr fix de termeni sau un număr infinit. O secvență finită are un număr de pornire, o diferență sau un factor și un număr total fix de termeni. De exemplu, prima secvență aritmetică de mai sus cu opt termeni ar fi 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Prima secvență geometrică de mai sus cu șase termeni ar fi 2, 4, 8, 16, 32, 64. Seria aritmetică corespunzătoare ar avea o valoare de 64 și seria geometrică 126. Secvențele infinite nu au un număr fix de termeni, iar termenii lor pot crește la infinit, pot scădea la zero sau se pot apropia de o valoare fixă. Seria corespunzătoare poate avea, de asemenea, un rezultat infinit, zero sau fix.
Seria convergentă și divergentă
Seriile infinite sunt divergente dacă suma se apropie de infinit pe măsură ce numărul termenilor crește. O serie infinită este convergentă dacă suma sa se apropie de o valoare non-infinită, cum ar fi zero sau un alt număr fix. Seriile sunt convergente dacă termenii secvenței subiacente se apropie rapid de zero.
Seria care adaugă termenii secvenței infinite 1, 2, 4... este divergent deoarece termenii secvenței continuă să crească, permițând ca suma să atingă o valoare infinită pe măsură ce numărul termenilor crește. Seria 1, 0,5, 0,25... este convergent deoarece termenii devin rapid foarte mici.
În timp ce secvențele sunt liste ordonate de numere și seriile sunt sume, ambele pot fi instrumente importante în evaluarea seturilor de numere și proprietățile convergenței sau divergenței pot avea viață reală implicații. O serie divergentă reprezintă adesea o condiție instabilă, în timp ce o serie convergentă înseamnă adesea că un proces sau o structură va fi stabilă.