Cum să cubuiți binomii

Algebra este plină de modele repetate pe care le-ați putea rezolva prin aritmetică de fiecare dată. Dar, deoarece aceste tipare sunt atât de frecvente, există de obicei o formulă de un fel care să faciliteze calculele. Cubul unui binom este un exemplu excelent: dacă ar fi trebuit să-l rezolvați de fiecare dată, ați petrece mult timp trudind peste creion și hârtie. Dar odată ce cunoașteți formula pentru rezolvarea acelui cub (și câteva trucuri la îndemână pentru a-l aminti), găsirea răspunsului dvs. este la fel de simplă ca conectarea termenilor corecți în sloturile variabile corecte.

TL; DR (Prea lung; Nu am citit)

Formula pentru cubul unui binom (A + b) este:

(A + b)³ = A³ + 3_a_²b + 3_ab_² + b³

Nu este nevoie să intrați în panică atunci când vedeți o problemă de genul (a + b)³ în fața dumneavoastră. Odată ce îl împărțiți în componentele sale familiare, va începe să arate ca probleme matematice mai familiare pe care le-ați făcut înainte.

În acest caz, ajută să ne amintim acest lucru

(a + b)³

este la fel ca

(a + b) (a + b) (a + b), care ar trebui să pară mult mai familiar.

Dar, în loc să rezolvați matematica de la zero de fiecare dată, puteți utiliza „comanda rapidă” a unei formule care reprezintă răspunsul pe care îl veți obține. Iată formula pentru cubul unui binom:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Pentru a utiliza formula, identificați ce numere (sau variabile) ocupă sloturile pentru „a” și „b” din partea stângă a ecuație, apoi înlocuiți aceleași numere (sau variabile) în sloturile „a” și „b” din partea dreaptă a formulă.

Exemplul 1: Rezolva (x + 5)³

După cum puteți vedea, X ocupă slotul „a” din partea stângă a formulei dvs., iar 5 ocupă slotul „b”. Înlocuind X și 5 în partea dreaptă a formulei vă oferă:

X³ + 3x²5 + 3x5² + 5³

Un pic de simplificare te apropie de un răspuns:

X³ + 3 (5) x² + 3 (25) x + 125

Și, în sfârșit, odată ce ați simplificat cât de mult puteți:

X³ + 15x² + 75x + 125

Nu aveți nevoie de o formulă diferită pentru a rezolva o problemă precum (y - 3)³. Dacă îți amintești asta y - 3 este la fel ca y + (-3), puteți pur și simplu rescrie problema în [y + (-3)]³ și rezolvați-o folosind formula dvs. familiară.

Exemplul 2: Rezolva (y - 3)³

După cum sa discutat deja, primul dvs. pas este să rescrieți problema [y + (-3)]³.

Apoi, amintiți-vă formula pentru cubul unui binom:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

În problema ta, y ocupă slotul „a” din partea stângă a ecuației și -3 ocupă slotul „b”. Înlocuiți-le în sloturile corespunzătoare din partea dreaptă a ecuației, având mare grijă cu parantezele pentru a păstra semnul negativ în fața lui -3. Acest lucru vă oferă:

y³ + 3 ani²(-3) + 3y (-3)² + (-3)³

Acum este timpul să simplificăm. Din nou, acordați o atenție deosebită acelui semn negativ atunci când aplicați exponenți:

y³ + 3 (-3) y² + 3 (9) y + (-27)

Încă o rundă de simplificare vă oferă răspunsul:

y³ - 9 ani² + 27y - 27

Acordați întotdeauna o atenție deosebită locului în care se află exponenții în problema dvs. Dacă vedeți o problemă în formular (a + b)³, sau [a + (-b)]³, atunci formula discutată aici este adecvată. Dar dacă problema ta arată (A³ + b³) sau (A³ - b³), nu este cubul unui binom. Este suma cuburilor (în primul caz) sau diferența de cuburi (în al doilea caz), caz în care aplicați una dintre următoarele formule:

(A³ + b³) = (a + b) (a² - ab + b²)

(A³ - b³) = (a - b) (a² + ab + b²)