Imaginați-vă că aveți un tun, urmărind să dărâmați zidurile unui castel inamic, astfel încât armata dvs. să intre în asalt și să își asume victoria. Dacă știi cât de repede se deplasează mingea când iese din tun și știi cât de departe sunt pereții, ce unghi de lansare ai nevoie pentru a trage tunul pentru a lovi cu succes pereții?
Acesta este un exemplu de problemă a mișcării proiectilului și puteți rezolva aceasta și multe probleme similare folosind ecuațiile de accelerație constantă ale cinematicii și unele algebre de bază.
Mișcarea proiectiluluieste modul în care fizicienii descriu mișcarea bidimensională în care singura accelerație pe care o experimentează obiectul în cauză este accelerația constantă descendentă datorată gravitației.
Pe suprafața Pământului, accelerația constantăAeste egal cug= 9,8 m / s2, și un obiect care suferă mișcare de proiectil este încădere liberăcu aceasta ca singura sursă de accelerație. În majoritatea cazurilor, va lua calea unei parabole, astfel încât mișcarea va avea atât o componentă orizontală, cât și verticală. Deși ar avea un efect (limitat) în viața reală, din fericire majoritatea problemelor legate de mișcarea proiectilelor din fizica liceului ignoră efectul rezistenței la aer.
Puteți rezolva problemele de mișcare a proiectilelor folosind valoarea luigși alte informații de bază despre situația actuală, cum ar fi viteza inițială a proiectilului și direcția în care se deplasează. Învățarea rezolvării acestor probleme este esențială pentru promovarea majorității orelor introductive de fizică și vă prezintă cele mai importante concepte și tehnici de care veți avea nevoie și în cursurile ulterioare.
Ecuații de mișcare a proiectilului
Ecuațiile pentru mișcarea proiectilului sunt ecuațiile constante de accelerație din cinematică, deoarece accelerația gravitației este singura sursă de accelerație pe care trebuie să o luați în considerare. Cele patru ecuații principale de care veți avea nevoie pentru a rezolva orice problemă de mișcare a proiectilului sunt:
v = v_0 + la \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} la ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2as
Aici,vînseamnă viteză,v0 este viteza inițială,Aeste accelerația (care este egală cu accelerația descendentă agîn toate problemele de mișcare a proiectilului),seste deplasarea (din poziția inițială) și ca întotdeauna aveți timp,t.
Aceste ecuații sunt tehnic doar pentru o singură dimensiune și într-adevăr ar putea fi reprezentate prin mărimi vectoriale (inclusiv vitezav, viteza initialav0 și așa mai departe), dar în practică puteți utiliza aceste versiuni separat, o dată înX-direcție și o dată îny-direcție (și dacă ați avut vreodată o problemă tridimensională, înz-direcție și).
Este important să ne amintim că acestea suntfolosit numai pentru accelerație constantă, ceea ce le face perfecte pentru a descrie situații în care influența gravitației este singura accelerare, dar nepotrivită pentru multe situații din lumea reală în care trebuie să existe forțe suplimentare considerat.
Pentru situațiile de bază, acesta este tot ce va fi necesar pentru a descrie mișcarea unui obiect, dar, dacă este necesar, puteți încorpora altele factori, cum ar fi înălțimea de la care a fost lansat proiectilul sau chiar îi rezolvă pentru cel mai înalt punct al proiectilului de pe acesta cale.
Rezolvarea problemelor de mișcare a proiectilelor
Acum că ați văzut cele patru versiuni ale formulei de mișcare a proiectilelor pe care va trebui să o folosiți rezolvați problemele, puteți începe să vă gândiți la strategia pe care o utilizați pentru a rezolva o mișcare de proiectil problemă.
Abordarea de bază este împărțirea problemei în două părți: una pentru mișcarea orizontală și una pentru mișcarea verticală. Aceasta se numește tehnic componentă orizontală și componentă verticală și fiecare are un set corespunzător de cantități, cum ar fi viteza orizontală, viteza verticală, deplasarea orizontală, deplasarea verticală și curând.
Cu această abordare, puteți utiliza ecuațiile cinematice, menționând momentul respectivteste același pentru componentele orizontale și verticale, dar lucruri precum viteza inițială vor avea componente diferite pentru viteza verticală inițială și viteza orizontală inițială.
Lucrul crucial de înțeles este că pentru mișcarea bidimensională,oriceunghiul de mișcare poate fi împărțit într-o componentă orizontală și una verticală, dar când dacă faceți acest lucru, va exista o versiune orizontală a ecuației în cauză și una verticală versiune.
Neglijarea efectelor rezistenței aerului simplifică masiv problemele de mișcare a proiectilului, deoarece direcția orizontală nu are niciodată accelerarea într-o problemă a mișcării proiectilului (cădere liberă), deoarece influența gravitației acționează numai vertical (adică spre suprafața Pământ).
Aceasta înseamnă că componenta vitezei orizontale este doar o viteză constantă, iar mișcarea se oprește numai atunci când gravitația aduce proiectilul la nivelul solului. Aceasta poate fi utilizată pentru a determina ora zborului, deoarece depinde în totalitate dey- mișcarea de direcție și poate fi elaborată în totalitate pe baza deplasării verticale (adică timpultcând deplasarea verticală este zero vă spune timpul zborului).
Trigonometria în problemele de mișcare a proiectilelor
Dacă problema în cauză vă oferă un unghi de lansare și o viteză inițială, va trebui să utilizați trigonometria pentru a găsi componentele vitezei orizontale și verticale. După ce ați făcut acest lucru, puteți utiliza metodele descrise în secțiunea anterioară pentru a rezolva efectiv problema.
În esență, creați un triunghi unghiular cu hipotenuza înclinată la unghiul de lansare (θ) și magnitudinea vitezei ca lungime, iar apoi partea adiacentă este componenta orizontală a vitezei, iar partea opusă este viteza verticală.
Desenați triunghiul unghiular așa cum este indicat și veți vedea că găsiți componentele orizontale și verticale folosind identitățile trigonometrice:
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {adjacent}} {\ text {hypotenuse}}
\ text {sin} \; θ = \ frac {\ text {opus}} {\ text {ipotenuză}}
Deci, acestea pot fi rearanjate (și cu opus =vy și adiacent =vX, adică componenta vitezei verticale și respectiv componentele vitezei orizontale și hipotenuză =v0, viteza inițială) pentru a da:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
Aceasta este toată trigonometria pe care trebuie să o faceți pentru a rezolva problemele de mișcare a proiectilului: conectarea unghiului de lansare la ecuație, folosind funcțiile sinus și cosinus de pe calculatorul dvs. și înmulțind rezultatul cu viteza inițială a proiectil.
Deci, pentru a trece printr-un exemplu de a face acest lucru, cu o viteză inițială de 20 m / s și un unghi de lansare de 60 de grade, componentele sunt:
\ begin {align} v_x & = 20 \; \ text {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ text {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ text {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ text {m / s} \ end {align}
Exemplu Problemă de mișcare a proiectilelor: un foc de artificii exploziv
Imaginați-vă că un foc de artificii are o siguranță concepută astfel încât să explodeze în cel mai înalt punct al traiectoriei sale și să fie lansată cu o viteză inițială de 60 m / s la un unghi de 70 de grade față de orizontală.
Cum ați stabili ce înălțimehexplodează la? Și care ar fi timpul de la lansare când va exploda?
Aceasta este una dintre multele probleme care implică înălțimea maximă a unui proiectil, iar trucul pentru rezolvarea acestora este de a observa că la înălțimea maximă,y-componenta vitezei este 0 m / s pentru o clipă. Prin conectarea acestei valori pentruvy și alegând cea mai potrivită dintre ecuațiile cinematice, puteți aborda cu ușurință această problemă și orice altă problemă similară.
Mai întâi, uitându-ne la ecuațiile cinematice, acesta sare (cu indicii adăugați pentru a arăta că lucrăm în direcție verticală):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Această ecuație este ideală deoarece știți deja accelerația (Ay = -g), viteza inițială și unghiul de lansare (astfel încât să puteți calcula componenta verticalăvy0). Întrucât căutăm valoareasy (adică înălțimeah) candvy = 0, putem înlocui zero cu componenta de viteză verticală finală și o putem aranjasy:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_y_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Deoarece are sens să apelăm direcția ascendentăy, și din moment ce accelerația datorată gravitațieigeste direcționat în jos (adică în -ydirecție), ne putem schimbaAy pentru -g. În sfârșit, sunândsy inaltimeah, putem scrie:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Deci, singurul lucru pe care trebuie să-l rezolvați pentru a rezolva problema este componenta verticală a vitezei inițiale, pe care o puteți face folosind abordarea trigonometrică din secțiunea anterioară. Deci, cu informațiile din întrebare (60 m / s și 70 de grade până la lansarea orizontală), aceasta oferă:
\ begin {align} v_ {0y} & = 60 \; \ text {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56.38 \; \ text {m / s} \ end {align}
Acum puteți rezolva înălțimea maximă:
\ begin {align} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56,38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9.8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162.19 \ text {m} \ end {align}
Deci, focul de artificii va exploda la aproximativ 162 de metri de sol.
Continuarea exemplului: timpul de zbor și distanța parcursă
După rezolvarea elementelor de bază ale problemei mișcării proiectilului bazată doar pe mișcarea verticală, restul problemei poate fi rezolvat cu ușurință. În primul rând, timpul de la lansare în care explozia siguranței poate fi găsit folosind una dintre celelalte ecuații de accelerație constantă. Privind opțiunile, următoarea expresie:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
are timpt, ceea ce vrei să știi; deplasarea, pe care o cunoașteți pentru punctul maxim al zborului; viteza verticală inițială; iar viteza în momentul înălțimii maxime (despre care știm că este zero). Deci, pe baza acestui lucru, ecuația poate fi rearanjată pentru a da o expresie pentru timpul zborului:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Așadar, introducerea valorilor și rezolvarea pentrutdă:
\ begin {align} t & = \ frac {2 × 162.19 \; \ text {m}} {56.38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5.75 \; \ text {s} \ end {align}
Deci, artificiile vor exploda la 5,75 secunde după lansare.
În cele din urmă, puteți determina cu ușurință distanța orizontală parcursă pe baza primei ecuații, care (în direcția orizontală) afirmă:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Cu toate acestea, observând că nu există nicio accelerare înX-direcție, aceasta este pur și simplu:
v_x = v_ {0x}
Adică viteza înXdirecția este aceeași pe parcursul călătoriei artificiilor. Dat fiindv = d/t, Undedeste distanța parcursă, este ușor să vezi astad = vt, și așa în acest caz (cusX = d):
s_x = v_ {0x} t
Deci, puteți înlocuiv0x cu expresia trigonometrică de mai devreme, introduceți valorile și rezolvați:
\ begin {align} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ text {m / s} × \ cos (70) × 5.75 \; \ text {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ end {align}
Deci, acesta va parcurge aproximativ 118 m înainte de explozie.
Problemă suplimentară de mișcare a proiectilului: Artificiile Dud
Pentru a rezolva o problemă suplimentară, imaginați-vă artificiile din exemplul anterior (viteza inițială de 60 m / s lansată la 70 de grade față de orizontală) nu a reușit să explodeze în vârful parabolei sale și, în schimb, aterizează pe sol neexplodat. Puteți calcula timpul total de zbor în acest caz? Cât de departe de locul de lansare în direcția orizontală va ateriza sau, cu alte cuvinte, care estegamăa proiectilului?
Această problemă funcționează practic în același mod, în care se află componentele verticale ale vitezei și ale deplasării principalele lucruri pe care trebuie să le luați în considerare pentru a determina ora zborului și, din aceasta, puteți determina gamă. Mai degrabă decât să treceți prin soluția în detaliu, puteți rezolva acest lucru singur pe baza exemplului anterior.
Există formule pentru gama unui proiectil, pe care le puteți căuta sau obține din ecuațiile constante de accelerație, dar aceasta nu este este foarte necesar, deoarece știți deja înălțimea maximă a proiectilului și, din acest moment, este doar în cădere liberă, sub efectul gravitatie.
Acest lucru înseamnă că puteți determina timpul necesar focului de artificii pentru a cădea din nou la pământ și apoi adăugați acest lucru la timpul de zbor la înălțimea maximă pentru a determina timpul total de zbor. De atunci, este același proces de utilizare a vitezei constante în direcția orizontală alături de timpul de zbor pentru a determina raza de acțiune.
Arătați că timpul de zbor este de 11,5 secunde și autonomia este de 236 m, menționând că va trebui calculați componenta verticală a vitezei în punctul în care lovește solul ca intermediar Etapa.