Moment unghiular: definiție, ecuație, unități (cu diagrame și exemple)

Luați în considerare scena: Dvs. și un prieten, din cauza unor probleme care nu vă stăpânesc, stați în vârful unei rampe lungi, înclinate în jos. Fiecare dintre voi a primit o minge cu o rază de exact 1 m. Ți s-a spus că a ta este fabricată dintr-un material uniform, asemănător spumei și are o masă de 5 kg. Mingea prietenului tău are și o masă de 5 kg, pe care o verifici cu un cântar la îndemână.

Prietenul tău vrea să te parieze că, dacă eliberezi cele două bile în același timp, a ta va ajunge mai întâi în jos. Sunteți tentați să susțineți că, deoarece bilele au aceeași masă și aceeași rază (și, prin urmare, volum), ele vor fi accelerate de gravitație în jos pe rampă la aceeași viteză pe tot parcursul coborârii. Dar ceva vă oprește „impulsul” de pariere și nu luați pariul ...

... cu înțelepciune, după cum se dovedește. Deși la început nu are sens, mingea prietenului tău, după toate aparențele, este un geamăn al tău, se mișcă pe rampă mai încet decât o face a ta. După ce experimentul s-a încheiat, cereți ca bilele să fie demontate și examinate pentru semne de înșelăciune. În schimb, tot ce găsești este că cei 5 kg de masă din mingea prietenului tău erau limitați la o coajă subțire în jurul exteriorului, cu interiorul gol.

Dar configurația descrisă mai sus înclină valoarea lui v în favoarea mingii tale? Așa cum se întâmplă, la felforțelorschimbaimpuls liniarde obiecte cuviteza liniară​, ​cuplurischimbaimpuls unghiularde obiecte cuviteză unghiulară​.

Un obiect rigid care rulează are atât impuls liniar, cât și moment unghiular, deoarece centrul său de masă se mișcă cu o viteză constantă v (egală la viteza tangențială a mingii sau a roții), orice altă porțiune a obiectului se rotește în jurul acelui centru de masă cu viteza unghiulară ω.

Modul în care masa este distribuită într-un obiect nu are nicio influență asupra impulsului său liniar, dar determină în mod deosebit impulsul său unghiular. Face acest lucru printr-o cantitate „asemănătoare masei” (în scopuri de rotație) numită momentul de inerție, valori mai mari de ceea ce implică atât mai multe dificultăți în a obține ceva care se rotește, cât și mai multe dificultăți în oprirea acestuia odată ce este deja rotire.

Momentul unghiular este o măsură a cât de dificilă este schimbarea mișcării de rotație a unui obiect. Depinde de momentul de inerție al obiectului și de viteza sa unghiulară. Momentul unghiular este o cantitate conservată, ceea ce înseamnă că suma momentului unghiular al particulelor dintr-un sistem închis este întotdeauna aceeași, chiar și atunci când poate fluctua cea a particulelor individuale.

Momentul unghiular este, după cum sa menționat, și o funcție a distribuției masei în jurul unei axe. Pentru a obține un sens intuitiv al acestui lucru, imaginați-vă stând la un picior de centrul unui carusel enorm care face o revoluție la fiecare 10 secunde. Acum imaginați-vă că sunteți pe același dispozitiv cu aceeași viteză unghiulară în timp ce stați 1miledin centru. Nu este nevoie de multă imaginație pentru a concepe diferența de impuls unghiular în aceste două scenarii.

​Momentul unghiular este produsul momentului de inerție ori de viteza sa unghiulară sau:
​

UndeL= impuls unghiular în kg ∙ m²/s,Eu= momentul de inerție în kg ∙ m²și ω = viteza unghiulară în radiani pe secundă (rad / s).

• ​Euse mai numește și al doilea moment de zonă.

Rețineți că discuția sa extins de la o masă punctuală la un corp solid, cum ar fi un cilindru sau o sferă, rotind în jurul unei axe. Centrul de masă al unui obiect nu se află adesea la nivelul săugeometriccentru, deci valori aleEudepinde de modul în care este distribuită masa obiectului. Adesea, acest lucru este simetric, dar nu uniform, cum ar fi un disc gol cu ​​toată masa sa într-o bandă subțire la exterior (cu alte cuvinte, un inel).

Vectorul momentului unghiular indică de-a lungul axei de rotație, perpendicular pe planul format der, „măturarea” circulară a oricărui punct al obiectului prin spațiu.

O diagramă de referință pentru valoareaEupentru diferite forme comune se găsește în Resurse. Folosiți-le pentru a începe câteva probleme de bază ale impulsului unghiular.

• Rețineți căEupentru o coajă sferică este (2/3) mr² în timp ce cea a unei sfere este (2/5) mr². Revenind la pariu din introducere, puteți vedea acum că mingea prietenului dvs. are (2/3) / (2/5) = 1,67 ori momentul de inerție ca al dvs., explicându-vă câștigarea „cursei”.

1. Un disc cu inerție de rotațieEude 1,5 kg ∙ m²/ s se rotește în jurul unei axe cu o viteză unghiularăωde 8 rad / s. Care este impulsul său unghiularL​?

2. O tijă subțire lungă de 15 m cu o masă de 5 kg - de exemplu, mâna unui ceas masiv se rotește în jurul unui punct fixat la un capăt cu o viteză unghiularăωde 2π rad / 60 s = (π / 30) rad / s. Care este impulsul său unghiularL​?

De data aceasta, trebuie să căutați valoareaEu. Pentru o tijă subțire care se mișcă în acest mod,Eu= (1/3) mr²​.

Comparați acest lucru cu răspunsul din primul exemplu. Te surprinde asta? De ce sau de ce nu?

„Conservare” înseamnă ceva un pic diferit în fizică decât în ​​domeniul ecosistemelor. Înseamnă pur și simplu că cantitatea totală de cantități conservate (energie, impuls, masă și inerție sunt „cele patru mari” cantități conservate în fizică) într-un sistem, inclusiv în univers, rămâne întotdeauna la fel. Dacă încercați să „eliminați” energia, aceasta apare pur și simplu într-o altă formă și orice încercare de a „crea” se bazează pe o sursă preexistentă.

Legea conservării impulsului unghiular afirmă că într-un sistem închis, impulsul unghiular total nu se poate schimba. Deoarece impulsul unghiular depinde de viteza unghiulară și de momentul de inerție, se poate prezice modul în care oricare dintre aceste mărimi trebuie să se schimbe una în relație cu alta într-o situație dată.

• În mod formal, deoarece cuplul poate fi exprimat caτ= dL/ dt (rata de schimbare în cazul momentului unghiular cu timpul), când suma cuplurilor dintr-un sistem este zero, atunci dL/ dt trebuie să fie de asemenea zero și nu există nicio modificare a impulsului unghiular în sistem în intervalul de timp în care este evaluat sistemul. În schimb, dacă L nu este constant, aceasta implică un dezechilibru al cuplurilor în sistem (adică,τ_netestenuegal cu zero).

Acesta este un concept important în multe exemple de mecanică din viața de zi cu zi. Un exemplu clasic este patinatorul de gheață: când sare în aer pentru a face un axel triplu, își trage strâns membrele. Aceasta scade raza ei generală în jurul axei de rotație, schimbând distribuția ei de masă astfel încât momentul de inerție să scadă (amintiți-vă,Eueste proporțional cu mr²​).

Deoarece impulsul unghiular este conservat, totuși, dacăEuscade, viteza ei unghiulară trebuie să crească; așa se învârte suficient de repede pentru a finaliza mai multe rotații în aer! Când aterizează, face invers - își întinde membrele, schimbându-și distribuția masei pentru a-și crește momentul de inerție, încetinindu-și viteza de rotație (viteza unghiulară).

Peste tot, impulsul unghiular al sistemului este constant, dar variabilele care determină magnitudinea impulsului unghiular pot fi manipulate și cu efect strategic, ca în acest caz.

Începând cu anii 1600, Isaac Newton a început să revoluționeze în mod eficient fizica matematică. După ce a inventat calculul, a fost bine poziționat să facă afirmații formale despre legile presupuse universale care guvernează mișcarea obiectelor, atât de translație (liniar și prin spațiu), cât și de rotație (ciclic și aproximativ o axă).

• Diverselelegile de conservarecare primesc ample mențiuni mai târziu nu sunt creierii lui Newton, dar există relații semnificative între acestea și legile mișcării.

​Prima lege a lui Newtonafirmă că un obiect în repaus sau în mișcare cu viteză constantă va rămâne în această stare, cu excepția cazului în care o forță exterioară acționează asupra obiectului. Aceasta se numește șilegea inerției.​

​A doua lege a lui Newtonafirmă că o forță netăF_netacționează asupra unei particule cu masăm, va tinde să schimbe viteza sau să accelereze acea masă. Această faimoasă relație este exprimată matematic caF_net= mA​.

​A treia lege a lui Newtonspune că pentru fiecare forță care există în natură, există o forță egală în mărime, dar îndreptată exact în direcția opusă. Această lege are implicații importante pentru proprietățile conservate ale mișcării, inclusiv impulsul unghiular.

Acum este un moment excelent pentru a revedea natura, regulile și relațiile dintreforta​, ​impuls(masa vitezei) șienergie, care informează nu numai discuțiile despre impulsul unghiular, ci și orice altceva din fizica clasică.

După cum sa menționat, cu excepția cazului în care un obiect experimentează o forță externă (sau, în cazul unui obiect rotativ, cuplu extern), mișcarea acestuia continuă neafectată. Cu toate acestea, pe Pământ, gravitația este practic mereu în amestec, la fel ca și contribuția mai mică a aerului și diferitele tipuri de frecare. forțelor, așa că nimic nu se mișcă pur și simplu dacă nu i se dă ocazional energie pentru a înlocui ceea ce este „luat” de aceste mișcări cronice hoții ".

Pentru a simplifica, o particulă are unenergie totalăconstând dinenergie interna(de exemplu, vibrația moleculelor sale) șienergie mecanică. Energia mecanică este suma deenergie potențială(PE; energie „stocată”, de obicei prin gravitație) șienergie kinetică(KE; energia mișcării). În mod util, PE + KE + IE = o constantă pentru toate sistemele, fie că este vorba de o masă punctuală (o singură particulă) sau de o varietate de mase care interacționează.

Când auziți termeni legați de mișcare, cum ar fi viteza, accelerația, deplasarea și impulsul, probabil presupuneți în mod implicit că contextul este mișcare liniară. De fapt, mișcarea de rotație are propriile sale cantități unice, dar analoage.

În timp ce deplasarea liniară este măsurată în metri (m) în unități SI, deplasarea unghiulară este măsurată în radiani (2π rad = 360 de grade). În consecinţă,viteză unghiularăeste măsurat în rad / s și este reprezentat deω, litera greacă omega.

Cu toate acestea, pe măsură ce o masă punctuală se mișcă în jurul axei sale de rotație, pe lângă viteza unghiulară, particula urmărește o cale circulară cu o rată dată, asemănătoare cu mișcarea liniară. Această rată esteviteza tangențială​ ​v_t​​,și este egal cu rω,Undereste raza sau distanța față de axa de rotație.

În mod similar,accelerația unghiulară​ ​α(Alfa grecesc) este rata de schimbare a vitezei unghiulareωși se măsoară în rad / s². Este deasemenea oaccelerație centripetă​ ​A_cdat dev_t²/r,care este îndreptată spre interior spre axa de rotație.

• În timp ce se discuta despre impulsul unghiular, omologul lui mvîn termeni liniari, vi se va discuta amănunțit în curând, să știți că una dintre componentele sale,Eu, poate fi considerat ca un analog de rotație al masei.

Momentul unghiular, ca forța, deplasarea, viteza și accelerația, este uncantitatea vectorială, deoarece astfel de variabile includ atât amagnitudine(adică un număr) și adirecţie, adesea dat termenii componentelor sale individuale x-, y- și z. Cantitățile care conțin doar un element numeric, cum ar fi masa, timpul, energia și munca, sunt cunoscute sub numele decantități scalare​.