Distanța euclidiană este distanța dintre două puncte din spațiul euclidian. Spațiul euclidian a fost conceput inițial de matematicianul grec Euclid în jurul anului 300 î.e.n. să studieze relațiile dintre unghiuri și distanțe. Acest sistem de geometrie este încă în uz astăzi și este cel pe care elevii de liceu îl studiază cel mai des. Geometria euclidiană se aplică în mod specific spațiilor cu două și trei dimensiuni. Cu toate acestea, se poate generaliza cu ușurință la dimensiuni superioare.
Calculați distanța euclidiană pentru o dimensiune. Distanța dintre două puncte într-o dimensiune este pur și simplu valoarea absolută a diferenței dintre coordonatele lor. Matematic, acest lucru este prezentat ca | p1 - q1 | unde p1 este prima coordonată a primului punct și q1 este prima coordonată a celui de-al doilea punct. Folosim valoarea absolută a acestei diferențe, deoarece distanța este considerată în mod normal ca având doar o valoare non-negativă.
Luați două puncte P și Q în spațiul euclidian bidimensional. Vom descrie P cu coordonatele (p1, p2) și Q cu coordonatele (q1, q2). Acum construiește un segment de linie cu punctele finale ale lui P și Q. Acest segment de linie va forma ipotenuza unui triunghi dreptunghiular. Extinzând rezultatele obținute la Pasul 1, observăm că lungimile picioarelor acestui triunghi sunt date de | p1 - q1 | și | p2 - q2 |. Distanța dintre cele două puncte va fi dată apoi ca lungime a hipotenuzei.
Utilizați teorema lui Pitagora pentru a determina lungimea hipotenuzei din Pasul 2. Această teoremă afirmă că c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 unde c este lungimea hipotenuzei unui triunghi dreptunghic și a, b sunt lungimile celorlalte două picioare. Acest lucru ne dă c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Distanța dintre 2 puncte P = (p1, p2) și Q = (q1, q2) în spațiul bidimensional este deci ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Extindeți rezultatele pasului 3 la spațiul tridimensional. Distanța dintre punctele P = (p1, p2, p3) și Q = (q1, q2, q3) poate fi apoi dată ca ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Generalizați soluția din Pasul 4 pentru distanța dintre două puncte P = (p1, p2,..., pn) și Q = (q1, q2,..., qn) în n dimensiuni. Această soluție generală poate fi dată ca ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).