Você já se perguntou quanta água ou café cabem em um daqueles aparentemente inúmeros copos descartáveis de plástico, do tipo que é mais estreito na base do que no topo? Em outras palavras, quase todo copo de papel, plástico ou outro copo descartável que você já viu ou usou? (Para ser justo, alguns copos não têm lados inclinados e, portanto, são cilíndricos, mas isso só parece se aplicar a permanente xícaras.)
O tipo de forma descrito acima é baseado em um cone, que é o resultado de uma linha que varre o espaço e traça um caminho curvo como um círculo (no caso mais simples) ou uma elipse. Uma xícara geralmente não é pontiaguda (algumas que contêm guloseimas congeladas são), mas ainda é um "pedaço" de um cone, geometricamente falando. Isso facilita, com paciência, encontrar o volume.
O volume de um cone
A fórmula para o volume de um cone regular ou direito (ou seja, um com uma base circular) é
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2h
Onde r é o raio da base e h é a altura do cone. Além disso, visto que do lado, um cone direito se parece com dois triângulos retângulos colocados juntos, o comprimento
s = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
O volume de uma xícara cônica: parte um
Digamos que você tenha uma xícara com 8 centímetros (cm) de largura na base, 10 cm de largura na parte superior e 15 cm de altura. Quanto líquido pode conter em cm3, também chamados de mililitros (mL)?
Uma forma de abordar esse problema é desenhar uma seção transversal da xícara, ou seja, o que parece de lado depois de ser cortado exatamente ao meio perpendicular ao seu campo de visão. Se você desenhar linhas verticais para cima a partir dos dois pontos onde a base encontra os lados até o topo do a xícara, agora você dividiu a seção transversal em dois triângulos retângulos refletidos iguais e um retângulo. Os triângulos têm "pernas" longas de 15 cm e "pernas" curtas de 1 cm (dividindo a diferença entre a largura da base e a largura do topo).
O volume de uma xícara cônica: parte dois
Observe o que acontece se você estender as laterais da xícara em seu diagrama até um ponto abaixo da base. Também estenda uma linha do centro do topo em direção ao ponto para o qual essas linhas convergem. (Você pode não ter espaço para fazer os lados se encontrarem e formarem um triângulo fechado, mas chegue o mais perto que puder)
Por causa do princípio dos triângulos semelhantes, você sabe que a proporção da perna longa dos triângulos de cima (15 cm) para a da perna pequena (1 cm) ou 15 para 1, deve ser a mesma que a proporção da perna pequena para a perna longa de um dos triângulos recém-criados entre a base do "copo" e o apontar. Já que a perna pequena tem um valor de 4 cm, a perna longa deve ter 15 vezes isso, ou 60 cm.
Portanto, agora você está lidando com a seção transversal de um cone com uma altura total de 15 + 60 = 75 cm e uma largura de 10 cm, o que significa um raio de 5 cm. O volume deste cone menos o volume do cone que se estende até a base do copo, que tem 60 cm de altura e 8 cm de largura (r = 4 cm) dá o resultado desejado:
\ begin {alinhado} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963,5 \ text {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005,3 \ text {mL} \\ 1963,5 - 1005,3 = 958,2 \ texto {mL} \ fim {alinhado}
Portanto, seu copo contém muito perto de 1 L (1.000 mL) de líquido.
Calculadora de volume de cone e xícara
Consulte os Recursos para obter uma lista de calculadoras envolvendo cones, dadas as diferentes combinações iniciais de informações. Como alternativa, você pode usar uma abordagem como a acima e dividir o copo em diferentes formas, depois usar fórmulas mais simples (como a fórmula para o volume de um cubo) em combinações apropriadas para encontrar o total volume.