Se você gosta de esquisitices matemáticas, vai adorar o triângulo de Pascal. Nomeado em homenagem ao matemático francês do século 17, Blaise Pascal, e conhecido pelos chineses por muitos séculos antes de Pascal como o triângulo Yanghui, é na verdade mais do que uma raridade. É um arranjo específico de números que é incrivelmente útil em álgebra e teoria da probabilidade. Algumas de suas características são mais desconcertantes e interessantes do que úteis. Eles ajudam a ilustrar a misteriosa harmonia do mundo descrita por números e matemática.
A regra para construir o triângulo de Pascal não poderia ser mais fácil. Comece com o número um no ápice e forme a segunda linha abaixo dele com um par de unidades. Para construir a terceira e todas as linhas subsequentes, comece colocando uma no início e no final. Derive cada dígito entre este par de unidades adicionando os dois dígitos imediatamente acima dele. A terceira linha é, portanto, 1, 2, 1, a quarta linha é 1, 3, 3, 1, a quinta linha é 1, 4, 6, 4, 1 e assim por diante. Se cada dígito ocupar uma caixa do mesmo tamanho que todas as outras caixas, o arranjo forma um perfeito triângulo equilátero delimitado em dois lados por uns e com uma base igual em comprimento ao número da linha. As linhas são simétricas no sentido de que são lidas da mesma forma para a frente e para trás.
Pascal descobriu o triângulo, conhecido há séculos pelos filósofos persas e chineses, quando estudava a expansão algébrica da expressão (x + y)n. Quando você expande essa expressão para a enésima potência, os coeficientes dos termos na expansão correspondem aos números na enésima linha do triângulo. Por exemplo, (x + y)0 = 1; (x + y)1 = x + y; (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 e assim por diante. Por esse motivo, os matemáticos às vezes chamam o arranjo de triângulo de coeficientes binomiais. Para grandes números de n, é obviamente mais fácil ler os coeficientes de expansão do triângulo do que calculá-los.
Suponha que você jogue uma moeda um certo número de vezes. Quantas combinações de cara e coroa você consegue? Você pode descobrir olhando para a linha do triângulo de Pascal que corresponde ao número de vezes que você joga a moeda e somando todos os números dessa linha. Por exemplo, se você jogar a moeda 3 vezes, há 1 + 3 + 3 + 1 = 8 possibilidades. A probabilidade de obter o mesmo resultado três vezes consecutivas é, portanto, 1/8.
Da mesma forma, você pode usar o triângulo de Pascal para descobrir quantas maneiras você pode combinar objetos ou escolhas de um determinado conjunto. Suponha que você tenha 5 bolas e queira saber de quantas maneiras pode escolher duas delas. Vá para a quinta linha e observe a segunda entrada para encontrar a resposta, que é 5.