Em uma sequência geométrica, cada termo é igual ao termo anterior vezes um multiplicador constante diferente de zero denominado fator comum. As sequências geométricas podem ter um número fixo de termos ou podem ser infinitas. Em ambos os casos, os termos de uma sequência geométrica podem rapidamente se tornar muito grandes, muito negativos ou muito próximos de zero. Em comparação com as sequências aritméticas, os termos mudam muito mais rapidamente, mas enquanto a aritmética infinita sequências aumentam ou diminuem constantemente, sequências geométricas podem se aproximar de zero, dependendo do fator.
TL; DR (muito longo; Não li)
Uma sequência geométrica é uma lista ordenada de números em que cada termo é o produto do termo anterior e um multiplicador fixo diferente de zero denominado fator comum. Cada termo de uma seqüência geométrica é a média geométrica dos termos anteriores e posteriores. Sequências geométricas infinitas com um fator comum entre +1 e -1 se aproximam do limite de zero como termos são adicionadas enquanto as sequências com um fator comum maior que +1 ou menor que -1 vão para mais ou menos infinidade.
Como funcionam as sequências geométricas
Uma sequência geométrica é definida por seu número inicialuma, o fator comumre o número de termosS. A forma geral correspondente de uma sequência geométrica é:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
A fórmula geral para termonde uma sequência geométrica (ou seja, qualquer termo dentro dessa sequência) é:
a_n = ar ^ {n-1}
A fórmula recursiva, que define um termo em relação ao termo anterior, é:
a_n = ra_ {n-1}
Um exemplo de sequência geométrica com número inicial 3, fator comum 2 e oito termos é 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Calculando o último termo usando a forma geral listada acima, o termo é:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Usando a fórmula geral para o termo 4:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Se você quiser usar a fórmula recursiva para o termo 5, o termo 4 = 24 e um5 é igual a:
a_5 = 2 × 24 = 48
Propriedades de sequência geométrica
As sequências geométricas têm propriedades especiais no que diz respeito à média geométrica. A média geométrica de dois números é a raiz quadrada de seu produto. Por exemplo, a média geométrica de 5 e 20 é 10 porque o produto 5 × 20 = 100 e a raiz quadrada de 100 é 10.
Em sequências geométricas, cada termo é a média geométrica do termo anterior e do termo posterior. Por exemplo, na sequência 3, 6, 12... acima, 6 é a média geométrica de 3 e 12, 12 é a média geométrica de 6 e 24 e 24 é a média geométrica de 12 e 48.
Outras propriedades das sequências geométricas dependem do fator comum. Se o fator comumrfor maior que 1, as sequências geométricas infinitas se aproximarão do infinito positivo. Serestá entre 0 e 1, as sequências se aproximarão de zero. Serestiver entre zero e -1, as sequências se aproximarão de zero, mas os termos alternarão entre valores positivos e negativos. Serfor menor que -1, os termos tenderão para o infinito positivo e negativo à medida que alternam entre valores positivos e negativos.
Sequências geométricas e suas propriedades são especialmente úteis em modelos científicos e matemáticos de processos do mundo real. O uso de sequências específicas pode ajudar no estudo de populações que crescem a uma taxa fixa em determinados períodos de tempo ou em investimentos que rendem juros. As fórmulas gerais e recursivas tornam possível prever valores precisos no futuro com base no ponto de partida e no fator comum.
