A equação de um plano no espaço tridimensional pode ser escrita em notação algébrica como ax + by + cz = d, onde pelo menos um de as constantes de número real "a", "b" e "c" não devem ser zero, e "x", "y" e "z" representam os eixos do sistema tridimensional plano. Se três pontos são dados, você pode determinar o plano usando produtos cruzados vetoriais. Um vetor é uma linha no espaço. Um produto vetorial é a multiplicação de dois vetores.
Obtenha os três pontos no avião. Rotule-os como "A", "B" e "C". Por exemplo, suponha que esses pontos sejam A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); e C = (1, 3, 4).
Encontre dois vetores diferentes no avião. No exemplo, escolha os vetores AB e AC. O vetor AB vai do ponto-A ao ponto-B, e o vetor AC vai do ponto-A ao ponto-C. Portanto, subtraia cada coordenada no ponto A de cada coordenada no ponto B para obter o vetor AB: (-2, 3, 1). Da mesma forma, o vetor AC é o ponto C menos o ponto A, ou (-2, 2, 3).
Calcule o produto vetorial dos dois vetores para obter um novo vetor, que é normal (ou perpendicular ou ortogonal) a cada um dos dois vetores e também ao plano. O produto vetorial de dois vetores, (a1, a2, a3) e (b1, b2, b3), é dado por N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). No exemplo, o produto vetorial, N, de AB e AC é i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], que simplifica para N = 7i + 4j + 2k. Observe que “i,” “j” e “k” são usados para representar as coordenadas do vetor.
Derive a equação do plano. A equação do plano é Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, onde (a1, a2, a3) é qualquer ponto no plano e (Ni, Nj, Nk ) é o vetor normal, N. No exemplo, usando o ponto C, que é (1, 3, 4), a equação do plano é 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, o que simplifica para 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0 ou 7x + 4y + 2z = 27.
Verifique sua resposta. Substitua os pontos originais para ver se eles satisfazem a equação do plano. Para concluir o exemplo, se você substituir qualquer um dos três pontos, verá que a equação do plano está de fato satisfeita.
Pontas
Consulte Recursos para obter dicas sobre como usar sistemas de três equações simultâneas para encontrar a equação de um plano.