A diferença entre a mecânica clássica e a mecânica quântica é enorme. Enquanto na mecânica clássica as partículas e objetos têm posições claramente definidas, na mecânica quântica (antes de uma medição) a partícula só pode ser considerada como tendo uma gama de posições possíveis, que são descritas em termos de probabilidades pela onda função.
A equação de Schrodinger define a função de onda dos sistemas da mecânica quântica, e aprender como usá-la e interpretá-la é uma parte importante de qualquer curso de mecânica quântica. Um dos exemplos mais simples de uma solução para essa equação é uma partícula em uma caixa.
A função de onda
Na mecânica quântica, uma partícula é representada por umfunção de onda. Isso geralmente é denotado pela letra grega psi (Ψ) e depende da posição e do tempo, e contém tudo o que pode ser conhecido sobre a partícula.
O módulo desta função ao quadrado indica a probabilidade de a partícula ser encontrada na posiçãoxno tempot, desde que a função seja “normalizada”. Isso significa apenas ajustado para que seja encontrado em
algumposiçãoxno momentotquando os resultados em cada local são somados, ou seja, a condição de normalização diz que:\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
Você pode usar a função de onda para calcular o valor esperado para a posição de uma partícula no momentot, onde o valor esperado significa apenas o valor médio que você obteriaxse você repetiu a medição um grande número de vezes. Claro, isso não significa que será o resultado que você obterá para qualquer medição - isto éefetivamentealeatório, embora alguns locais sejam geralmente substancialmente mais prováveis do que outros.
Existem muitas outras quantidades para as quais você pode calcular os valores esperados, como os valores de momento e energia, bem como muitos outros "observáveis".
Equação de Schrodinger
A equação de Schrodinger é uma equação diferencial usada para encontrar o valor da função de onda e os estados próprios para a energia da partícula. A equação pode ser derivada da conservação de energia e das expressões para a energia cinética e potencial de uma partícula. A maneira mais simples de escrever é:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Mas aquiHrepresenta oOperador hamiltoniano, que em si é uma expressão bastante longa:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + V (x)
Aqui,mé a massa, ℏ é a constante de Planck dividida por 2π, eV (x) é uma função geral para a energia potencial do sistema. O hamiltoniano tem duas partes distintas - o primeiro termo é a energia cinética do sistema e o segundo termo é a energia potencial.
Cada valor observável na mecânica quântica está associado a um operador e, na versão independente do tempo da equação de Schrodinger, o hamiltoniano é o operador de energia. No entanto, na versão dependente do tempo mostrada acima, o hamiltoniano também gera a evolução no tempo da função de onda.
Combinando todas as informações contidas na equação, você pode descrever a evolução da partícula no espaço e no tempo e prever os possíveis valores de energia para ela também.
A Equação de Schrodinger Independente do Tempo
A parte dependente do tempo da equação pode ser removida - para descrever uma situação que não evolui notavelmente com o tempo - separando a função de onda em partes de espaço e tempo:Ψ(x, t) = Ψ(x) f(t). As partes dependentes do tempo podem então ser canceladas fora da equação, o que deixa a versão independente do tempo da equação de Schrodinger:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
Eé a energia do sistema. Isso tem a forma exata de uma equação de autovalor, comΨ(x) sendo a autofunção, eEsendo o autovalor, razão pela qual a equação independente do tempo é freqüentemente chamada de equação do autovalor para a energia de um sistema mecânico quântico. A função de tempo é simplesmente dada por:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
A equação independente do tempo é útil porque simplifica os cálculos para muitas situações onde a evolução do tempo não é particularmente crucial. Esta é a forma mais útil para problemas de "partícula em uma caixa" e até mesmo para determinar os níveis de energia dos elétrons ao redor de um átomo.
Partícula em uma caixa (poço quadrado infinito)
Uma das soluções mais simples para a equação de Schrodinger independente do tempo é para uma partícula em um poço quadrado infinitamente profundo (ou seja, um poço potencial infinito), ou uma caixa unidimensional de base comprimentoeu. Claro, essas são idealizações teóricas, mas dá uma ideia básica de como resolver a equação de Schrõdinger sem levar em conta muitas das complicações que existem na natureza.
Com a energia potencial definida como 0 fora do poço, onde a densidade de probabilidade também é 0, a equação de Schrodinger para esta situação torna-se:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
E a solução geral para uma equação desta forma é:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
No entanto, observar as condições de contorno pode ajudar a restringir isso. Parax= 0 ex= L, ou seja, os lados da caixa ou as paredes do poço, a função de onda deve ir para zero. A função cosseno tem um valor de 1 quando o argumento é 0, portanto, para as condições de contorno a serem satisfeitas, a constanteBdeve ser igual a zero. Isso deixa:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
Você também pode usar as condições de limite para definir um valor parak. Uma vez que a função sin vai para zero nos valoresnπ, onde o número quânticon= 0, 1, 2, 3... e assim por diante, isso significa quandox = eu, a equação só funcionará sek = nπ / eu. Finalmente, você pode usar o fato de que a função de onda deve ser normalizada para encontrar o valor deUMA(integrar em todos os possíveisxvalores, ou seja, de 0 aeue, em seguida, defina o resultado igual a 1 e reorganize), para chegar à expressão final:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Usando a equação original e este resultado, você pode então resolver paraE, que produz:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}
Observe que o fato dennesta expressão significa que os níveis de energia sãoquantificado, então eles não podem pegaralgumvalor, mas apenas um conjunto discreto de valores de nível de energia específicos, dependendo da massa da partícula e do comprimento da caixa.
Partícula em uma caixa (poço quadrado finito)
O mesmo problema fica um pouco mais complicado se o poço de potencial tiver uma altura de parede finita. Por exemplo, se o potencialV (x) pega o valorV0 fora do poço de potencial e 0 dentro dele, a função de onda pode ser determinada nas três principais regiões cobertas pelo problema. Este é um processo mais complexo, portanto, aqui você só poderá ver os resultados, em vez de percorrer todo o processo.
Se o poço está emx= 0 ax = eunovamente, para a região ondex<0 a solução é:
Ψ (x) = Seja ^ {kx}
Para a regiãox > eu, isso é:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Onde
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
Para a região dentro do poço, onde 0 <x < eu, a solução geral é:
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
Onde
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
Você pode então usar as condições de contorno para determinar os valores das constantesUMA, B, CeD, observando que além de ter valores definidos nas paredes do poço, a função de onda e sua primeira derivada devem ser contínuas em todos os lugares, e a função de onda deve ser finita em todos os lugares.
Em outros casos, como caixas rasas, caixas estreitas e muitas outras situações específicas, existem aproximações e diferentes soluções que você pode encontrar.