O produto de duas grandezas escalares é um escalar, e o produto de um escalar com um vetor é um vetor, mas e quanto ao produto de dois vetores? É um escalar ou outro vetor? A resposta é: pode ser qualquer um!
Existem duas maneiras de obter um produto vetorial. Uma é pegando seu produto escalar, que produz um escalar, e a outra é pegando seu produto vetorial, que produz outro vetor. O produto usado depende do cenário específico e da quantidade que você está tentando encontrar.
O produto vetorial de dois vetores produz um terceiro vetor que aponta na direção perpendicular ao plano medido pelos dois vetores, e cuja magnitude depende da perpendicularidade relativa dos dois vetores.
Definição do produto cruzado de vetores
Primeiro definimos o produto vetorial dos vetores unitárioseu, jek(vetores de magnitude 1 que apontam nox-, y-ez- direções dos componentes do sistema de coordenadas cartesianas padrão) da seguinte forma:
\ negrito {i \ vezes j} = \ negrito {k} \\ \ negrito {j \ vezes k} = \ negrito {i} \\ \ negrito {k \ vezes i} = \ negrito {j} \\ \ negrito {i \ vezes i} = \ negrito {j \ vezes j} = \ negrito {k \ vezes k} = 0
Observe que essas relações são anticomutativas, ou seja, se mudarmos a ordem dos vetores dos quais estamos tirando o produto, ele inverte o sinal do produto:
\ negrito {j \ vezes i} = - \ negrito {k} \\ \ negrito {k \ vezes j} = - \ negrito {i} \\ \ negrito {i \ vezes k} = - \ negrito {j}
Podemos usar as definições acima para derivar a fórmula para o produto vetorial de dois vetores tridimensionais. Primeiro, escreva os vetoresumaebdo seguinte modo:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
Multiplicando os dois vetores, obtemos:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ negrito {k}) \\ = a_xb_x \ negrito {i \ vezes i} + a_xb_y \ negrito {i \ vezes j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ vezes i} + a_zb_y \ bold {k \ times j} + a_zb_z \ bold {k \ times k}
Então, usando as relações de vetor unitário acima, isso simplifica para:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} - a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {k}
(Observe que os termos cujo produto vetorial foi 0 são os termos que formam o produto escalar (também chamado de produto escalar)!Isso não é uma coincidência.)
Em outras palavras:
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {onde} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
A magnitude do produto vetorial pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras.
A fórmula de produto vetorial também pode ser expressa como o determinante da seguinte matriz:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {matrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {matriz} \ Bigg | \\ = \ Big | \ begin {matrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {matriz} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {matriz} \ Big | \ bold {k}
\ text {Onde está o determinante} \ Big | \ begin {matrix} a & b \\ c & d \ end {matrix} \ Big | = ad - bc
Outra formulação do produto vetorial, muitas vezes muito conveniente, é (consulte o final deste artigo para obter a derivação):
\ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n}
Onde:
- |uma| é a magnitude (comprimento) do vetoruma
- |b| é a magnitude (comprimento) do vetorb
- θ é o ângulo entre umae b
- né o vetor unitário perpendicular ao plano medido por umaeb
Vetores perpendiculares e a regra da mão direita
Na descrição do produto vetorial, afirma-se que a direção do produto vetorial é perpendicular ao plano medido pelo vetorumae vetorb. Mas isso deixa duas possibilidades: pode apontarfora deo avião oupara dentroo plano medido por esses vetores. A realidade é que podemos escolher qualquer um, desde que sejamos consistentes. A direção preferida escolhida por matemáticos e cientistas, no entanto, é determinada por algo chamado deregra da mão direita.
Para determinar a direção de um produto vetorial vetorial usando a regra da mão direita, aponte o dedo indicador de sua mão direita na direção do vetorumae seu dedo médio na direção do vetorb. Seu polegar aponta na direção do vetor de produto vetorial.
Às vezes, essas instruções são difíceis de descrever em uma folha de papel plana, então muitas vezes as seguintes convenções são feitas:
Para indicar um vetor que vai para a página, desenhamos um círculo com um X (pense nisso como uma representação das penas da cauda no final da seta quando você olha para ela por trás). Para indicar um vetor que segue na direção oposta fora da página, desenhamos um círculo com um ponto (pense nisso como a ponta da seta apontando para fora da página).
•••n / D
Propriedades do produto cruzado
A seguir estão várias propriedades do produto vetorial vetorial:
\#\texto 1. Se} \ bold {a} \ text {e} \ bold {b} \ text {são paralelos, então} \ bold {a \ times b} = 0
\ # \ text {2. } \ bold {a \ times b} = - \ bold {b \ times a}
\ # \ text {3. } \ negrito {a \ vezes (b + c)} = \ negrito {a \ vezes b} + \ negrito {a \ vezes c}
\ # \ text {4. } (c \ bold {a) \ times b} = c (\ bold {a \ times b})
\ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ bold {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {Onde} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {matrix } \ Bigg |
Interpretação geométrica do produto cruzado
Quando o produto vetorial vetorial é formulado em termos de sen (θ), sua magnitude pode ser interpretada como representando a área do paralelogramo medido pelos dois vetores. Isso é porque paraa × b, |b| sin (θ) = a altura do paralelogramo, conforme mostrado, e |uma| é a base.
•••Dana Chen | Ciência
A magnitude do produto triplo do vetora (b × c) pode, por sua vez, ser interpretado como o volume do paralelepípedo medido pelos vetoresuma, bec. Isto é porque(b × c) dá um vetor cuja magnitude é a área abrangida pelo vetorbe vetorc, e cuja direção é perpendicular a essa área. Pegando o produto escalar do vetorumacom este resultado, essencialmente multiplica a área da base vezes a altura.
Exemplos
Exemplo 1:A força em uma partícula de cargaqmovendo-se com velocidadevno campo magnéticoBÉ dado por:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B}
Suponha que um elétron passe por um campo magnético de 0,005 T na velocidade 2 × 107 em. Se passar perpendicularmente pelo campo, a força que sentirá é:
\ negrito {F} = q \ negrito {v \ vezes B} = qvB \ sin (\ theta) \ negrito {n} = (-1,602 \ vezes 10 ^ {19}) (2 \ vezes 10 ^ 7) (0,005 ) \ sin (90) \ negrito {n} = -1,602 \ vezes 10 ^ {- 14} \ texto {N} \ negrito {n}
No entanto, se o elétron estiver viajando paralelamente ao campo, então θ = 0 e sin (0) = 0, tornando a força 0.
Observe que, para o elétron passando perpendicularmente pelo campo, essa força fará com que ele se mova em um caminho circular. O raio deste caminho circular pode ser encontrado definindo a força magnética igual à força centrípeta e resolvendo para o raior:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ implica r = \ frac {mv} {qB}
Para o exemplo acima, inserir os números resulta em um raio de cerca de 0,0227 m.
Exemplo 2:O torque da quantidade física também é calculado usando um produto vetorial vetorial. Se uma forçaFé aplicado a um objeto na posiçãordo ponto de articulação, o torqueτsobre o ponto de pivô é dado por:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F}
Considere a situação em que uma força de 7 N é aplicada em um ângulo à extremidade de uma haste 0,75 cuja outra extremidade está fixada a um pivô. O ângulo entrereFé de 70 graus, então o torque pode ser calculado:
\ negrito {\ tau} = \ negrito {r \ vezes F} = rF \ sin (\ theta) = (0,75) (7) \ sin (70) \ negrito {n} = 4,93 \ texto {Nm} \ negrito { n}
A direção do torque,n, é encontrado por meio da regra da mão direita. Se aplicado à imagem acima, fornece uma direção de saída da página ou tela. Em geral, um torque aplicado a um objeto fará com que o objeto gire. O vetor de torque sempre estará na mesma direção do eixo de rotação.
Na verdade, uma regra simplificada da mão direita pode ser usada nesta situação: use a mão direita para "agarrar" o eixo de rotação em de forma que seus dedos se curvem na direção em que o torque associado fará com que o objeto gire. Seu polegar está então apontando na direção do vetor de torque.
Derivação da fórmula de produto cruzado
\ text {Aqui mostraremos como a fórmula de produto vetorial} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n} \ text {pode ser derivado.}
Considere dois vetoresumaebcom ânguloθentre eles. Um triângulo retângulo pode ser formado desenhando uma linha a partir da ponta do vetorumaa um ponto de contato perpendicular no vetorb.
Usando o teorema de Pitágoras, obtemos a seguinte relação:
\ Grande | \ Grande (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Grande) \ negrito {b} \ Grande | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2
\ text {Onde} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ text {é a projeção do vetor} \ bold {a} \ text {no vetor} \ bold {b}.
Simplificando um pouco a expressão, obtemos o seguinte:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { a} | ^ 2
Em seguida, multiplique ambos os lados da equação por |b|2 e mova o primeiro termo para o lado direito para obter:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold { a \ cdot b} | ^ 2
Trabalhando com o lado direito, multiplique tudo e depois simplifique:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (A_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z - a_zb_y) ^ 2 + (a_zb_x - a_xb_z) ^ 2 + (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ bold {a \ times b} | ^ 2
Definindo o resultado igual ao lado esquerdo da equação anterior, obtemos a seguinte relação:
| \ bold {a \ times b} | = | \ bold {a} || \ bold {b} || \ sin (\ theta) |
Isso nos mostra que as magnitudes são as mesmas na fórmula, então a última coisa a fazer para provar a fórmula é mostrar que as direções também são as mesmas. Isso pode ser feito simplesmente pegando os produtos escalares deumacoma × bebcoma × be mostrando que são 0, o que implica que a direção dea × b é perpendicular a ambos.