Energia cinética rotacionaldescreve a energia do movimento resultante da rotação ou movimento circular de um objeto. Lembre-se dissoenergia cinética linearde uma massammovendo-se com velocidadevé dado por 1 / 2mv2. Este é um cálculo simples para qualquer objeto que se move em um caminho em linha reta. Ele se aplica ao centro de massa do objeto, permitindo que o objeto seja aproximado como um ponto de massa.
Agora, se quisermos descrever a energia cinética de um objeto estendido passando por um movimento mais complexo, o cálculo se torna mais complicado.
Poderíamos fazer aproximações sucessivas dividindo o objeto estendido em pequenos pedaços, cada um dos quais pode ser aproximado como um massa do ponto e, em seguida, calcule a energia cinética linear para cada massa do ponto separadamente e some todos para encontrar o total para o objeto. Quanto menor quebrar o objeto, melhor será a aproximação. No limite em que as peças se tornam infinitesimais, isso pode ser feito com cálculo.
Mas estamos com sorte! Quando se trata de movimento rotacional, há uma simplificação. Para um objeto em rotação, se descrevermos sua distribuição de massa em torno do eixo de rotação em termos de seu momento de inércia,
eu, podemos então usar uma equação de energia cinética rotacional simples, discutida posteriormente neste artigo.Momento de inércia
Momento de inérciaé uma medida de quão difícil é fazer com que um objeto mude seu movimento rotacional em torno de um determinado eixo. O momento de inércia de um objeto em rotação depende não apenas da massa do objeto, mas também de como essa massa é distribuída em torno do eixo de rotação. Quanto mais longe do eixo a massa é distribuída, mais difícil é mudar seu movimento rotacional e, portanto, maior o momento de inércia.
As unidades SI para o momento de inércia são kgm2 (o que é consistente com nossa noção de que depende da massa e da distância do eixo de rotação). Os momentos de inércia para diferentes objetos podem ser encontrados em uma tabela ou no cálculo.
Pontas
O momento de inércia para qualquer objeto pode ser encontrado usando o cálculo e a fórmula para o momento de inércia de uma massa pontual.
Equação de energia cinética rotacional
A fórmula para a energia cinética rotacional é dada por:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
Ondeeué o momento de inércia do objeto eωé a velocidade angular do objeto em radianos por segundo (rad / s). A unidade SI para energia cinética rotacional é o joule (J).
A forma da fórmula da energia cinética rotacional é análoga à equação da energia cinética translacional; o momento de inércia desempenha o papel da massa, e a velocidade angular substitui a velocidade linear. Observe que a equação da energia cinética rotacional fornece o mesmo resultado para um ponto de massa que a equação linear.
Se imaginarmos uma massa pontualmmovendo-se em um círculo de raiorcom velocidadev, então sua velocidade angular é ω = v / r e seu momento de inércia é mr2. Ambas as equações de energia cinética dão o mesmo resultado, conforme esperado:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\ cancel {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Se um objeto está girando e seu centro de massa está se movendo ao longo de um caminho em linha reta (como acontece com um pneu de rolamento, por exemplo), então oenergia cinética totalé a soma da energia cinética de rotação e as energias cinéticas de translação:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Exemplos de uso da fórmula de energia cinética rotacional
A fórmula da energia cinética rotacional tem muitas aplicações. Pode ser usado para calcular a energia cinética simples de um objeto giratório, para calcular a energia cinética de um objeto rolante (um objeto submetido a movimento de rotação e translação) e resolver para outro desconhecidos. Considere os três exemplos a seguir:
Exemplo 1:A Terra gira em torno de seu eixo aproximadamente uma vez a cada 24 horas. Se assumirmos que tem uma densidade uniforme, qual é a sua energia cinética rotacional? (O raio da Terra é 6,37 × 106 m, e sua massa é 5,97 × 1024 kg.)
Para encontrar a energia cinética rotacional, primeiro devemos encontrar o momento de inércia. Ao aproximar a Terra como uma esfera sólida, obtemos:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5,97 \ vezes10 ^ {24} \ texto {kg}) (6,37 \ vezes10 ^ 6 \ texto {m}) ^ 2 = 9,69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2
A velocidade angular é de 2π radianos / dia. Converter isso para rad / s dá:
2 \ pi \ frac {\ text {radianos}} {\ cancel {\ text {dia}}} \ frac {1 \ cancel {\ text {dia}}} {86400 \ text {segundos}} = 7,27 \ times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
Portanto, a energia cinética rotacional da Terra é então:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9,69 \ vezes10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2) (7,27 \ vezes10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2,56 \ vezes 10 ^ {29} \ text {J}
Curiosidade: isso é mais de 10 vezes a energia total que o sol emite em um minuto!
Exemplo 2:Um cilindro uniforme de massa de 0,75 kg e raio de 0,1 m rola pelo chão a uma velocidade constante de 4 m / s. Qual é a sua energia cinética?
A energia cinética total é dada por:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Neste caso, I = 1/2 mr2 é o momento de inércia para um cilindro sólido, eωestá relacionado à velocidade linear via ω = v / r.
Simplificar a expressão para energia cinética total e inserir valores dá:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ texto {kg}) (4 \ text {m / s}) = 2,25 \ text {J}
Observe que nem mesmo precisamos usar o raio! Ele se cancelou devido à relação direta entre a velocidade rotacional e a velocidade linear.
Exemplo 3:Um aluno de bicicleta desce uma colina do repouso. Se a altura vertical do morro for 30 m, qual a velocidade do aluno na base do morro? Suponha que a bicicleta pesa 8 kg, o ciclista pesa 50 kg, cada roda pesa 2,2 kg (incluído no peso da bicicleta) e cada roda tem um diâmetro de 0,7 m. Aproxime as rodas como aros e assuma que o atrito é insignificante.
Aqui podemos usar a conservação de energia mecânica para encontrar a velocidade final. A energia potencial no topo da colina é transformada em energia cinética na base. Essa energia cinética é a soma da energia cinética de translação de todo o sistema pessoa + bicicleta e as energias cinéticas de rotação dos pneus.
Energia total do sistema:
E_ {tot} = PE_ {topo} = mgh = (50 \ texto {kg} + 8 \ texto {kg}) (9,8 \ texto {m / s} ^ 2) (30 \ texto {m}) = 17.052 \ enviar mensagem de texto {J}
A fórmula para a energia total em termos de energias cinéticas na base da colina é:
E_ {tot} = KE_ {inferior} = \ frac {1} {2} I_ {pneus} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ vezes m_ {pneu} \ vezes r_ {tire} ^ 2) (v / r_ {tire}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {tire} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {pneu} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Resolvendo paravdá:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {tire} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
Finalmente, inserindo os números, obtemos nossa resposta:
v = \ sqrt {\ frac {17.052 \ texto {J}} {2,2 \ texto {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ texto {kg}}} = 23,4 \ texto {m / s}