A equação de Schrodinger é a equação mais fundamental da mecânica quântica, e aprender como usá-la e o que ela significa é essencial para qualquer físico iniciante. A equação leva o nome de Erwin Schrödinger, que ganhou o Prêmio Nobel junto com Paul Dirac em 1933 por suas contribuições à física quântica.
A equação de Schrõdinger descreve a função de onda de um sistema mecânico quântico, que dá informações probabilísticas sobre a localização de uma partícula e outras quantidades observáveis, como sua momentum. A coisa mais importante que você vai perceber sobre a mecânica quântica depois de aprender sobre a equação é que as leis no reino quântico sãomuito diferentedaqueles da mecânica clássica.
A função de onda
A função de onda é um dos conceitos mais importantes da mecânica quântica, pois cada partícula é representada por uma função de onda. Normalmente é dada a letra grega psi (Ψ) e depende da posição e do tempo. Quando você tem uma expressão para a função de onda de uma partícula, ela diz a você tudo o que pode ser conhecido sobre o sistema físico, e diferentes valores para quantidades observáveis podem ser obtidos aplicando um operador para isto.
O quadrado do módulo da função de onda indica a probabilidade de encontrar a partícula em uma posiçãoxem um dado instantet. Este é apenas o caso se a função for "normalizada", o que significa que a soma do módulo quadrado sobre todas as localizações possíveis deve ser igual a 1, ou seja, que a partícula écertoser localizadoem algum lugar.
Observe que a função de onda fornece apenas informações probabilísticas e, portanto, você não pode prever o resultado de qualquer observação, embora vocêpossodeterminar a média de muitas medições.
Você pode usar a função de onda para calcular o“Valor esperado”para a posição da partícula no tempot, com o valor esperado sendo o valor médio dexvocê obteria se repetisse a medição muitas vezes.
Novamente, isso não diz nada sobre uma medição específica. Na verdade, a função de onda é mais uma distribuição de probabilidade para uma única partícula do que qualquer coisa concreta e confiável. Usando o operador apropriado, você também pode obter valores esperados para momentum, energia e outras quantidades observáveis.
A Equação de Schrodinger
A equação de Schrodinger é uma equação diferencial parcial linear que descreve a evolução de um estado quântico de uma forma semelhante às leis de Newton (a segunda lei em particular) no clássico mecânica.
No entanto, a equação de Schrodinger é uma equação de onda para a função de onda da partícula em questão e, portanto, o uso da equação para prever o estado futuro de um sistema às vezes é chamado de "mecânica de ondas" A própria equação deriva da conservação de energia e é construída em torno de um operador chamado de Hamiltoniano.
A forma mais simples da equação de Schrodinger para escrever é:
H Ψ = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Onde ℏ é a constante de Planck reduzida (ou seja, a constante dividida por 2π) eHé o operador hamiltoniano, que corresponde à soma da energia potencial e da energia cinética (energia total) do sistema quântico. O hamiltoniano em si é uma expressão bastante longa, portanto, a equação completa pode ser escrita como:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ parcial ^ 2 Ψ} {\ parcial x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ parcialΨ} {\ parcial t}
Notando que às vezes (para problemas explicitamente tridimensionais), a primeira derivada parcial é escrita como o operador Laplaciano ∇2. Essencialmente, o hamiltoniano atua na função de onda para descrever sua evolução no espaço e no tempo. Mas na versão independente do tempo da equação (ou seja, quando o sistema não depende det), o hamiltoniano fornece a energia do sistema.
Resolver a equação de Schrodinger significa encontrar ofunção de onda mecânica quânticaque o satisfaça para uma situação particular.
A equação de Schrodinger dependente do tempo
A equação de Schrõdinger dependente do tempo é a versão da seção anterior e descreve a evolução da função de onda de uma partícula no tempo e no espaço. Um caso simples a considerar é uma partícula livre porque a energia potencialV= 0, e a solução assume a forma de uma onda plana. Essas soluções têm o formato:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Ondek = 2π / λ, λé o comprimento de onda, eω = E / ℏ.
Para outras situações, a parte da energia potencial da equação original descreve as condições de contorno para o parte espacial da função de onda, e muitas vezes é separada em uma função de evolução no tempo e uma função independente do tempo equação.
A equação de Schrodinger independente do tempo
Para situações estáticas ou soluções que formam ondas estacionárias (como o poço de potencial, soluções no estilo "partícula em uma caixa"), você pode separar a função de onda em partes de tempo e espaço:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Quando você passa por isso por completo, a parte do tempo pode ser cancelada, deixando uma forma da equação de Schrodinger quesódepende da posição da partícula. A função de onda independente do tempo é então dada por:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
AquiEé a energia do sistema mecânico quântico, eHé o operador hamiltoniano. Esta forma da equação assume a forma exata de uma equação de autovalor, com a função de onda sendo a autofunção, e a energia sendo o autovalor quando o operador hamiltoniano é aplicado para isso. Expandindo o hamiltoniano para uma forma mais explícita, ele pode ser escrito na íntegra como:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
A parte do tempo da equação está contida na função:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Soluções para a equação de Schrodinger independente do tempo
A equação de Schrõdinger independente do tempo se presta bem a soluções bastante diretas porque reduz a forma completa da equação. Um exemplo perfeito disso é o grupo de soluções "partícula em uma caixa" em que a partícula é considerada em um potencial quadrado infinito, bem em uma dimensão, portanto, há potencial zero (ou seja,V= 0) ao longo, e não há chance de a partícula ser encontrada fora do poço.
Há também um poço quadrado finito, onde o potencial nas "paredes" do poço não é infinito e mesmo que seja maior do que a energia da partícula, háalgumpossibilidade de encontrar a partícula fora dela devido ao tunelamento quântico. Para o poço de potencial infinito, as soluções assumem a forma:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Ondeeué o comprimento do poço.
Um potencial de função delta é um conceito muito semelhante ao do poço de potencial, exceto com a larguraeuindo para zero (ou seja, sendo infinitesimal em torno de um único ponto) e a profundidade do poço indo para o infinito, enquanto o produto dos dois (você0) permanece constante. Nesta situação muito idealizada, há apenas um estado vinculado, dado por:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
Com energia:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Solução de átomo de hidrogênio para a equação de Schrodinger
Finalmente, a solução do átomo de hidrogênio tem aplicações óbvias para a física do mundo real, mas na prática a situação pois um elétron ao redor do núcleo de um átomo de hidrogênio pode ser visto como muito semelhante ao poço de potencial problemas. No entanto, a situação é tridimensional e é melhor descrita em coordenadas esféricasr, θ, ϕ. A solução neste caso é dada por:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
OndePsão os polinômios de Legendre,Rsão soluções radiais específicas, eNé uma constante que você fixa usando o fato de que a função de onda deve ser normalizada. A equação produz níveis de energia dados por:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
OndeZaqui está o número atômico (entãoZ= 1 para um átomo de hidrogênio),eneste caso é a carga de um elétron (ao invés da constantee = 2.7182818...), ϵ0 é a permissividade do espaço livre, eμé a massa reduzida, que é baseada nas massas do próton e do elétron em um átomo de hidrogênio. Esta expressão é boa para qualquer átomo semelhante ao hidrogênio, significando qualquer situação (incluindo íons) onde há um elétron orbitando um núcleo central.