Às vezes é necessário encontrar um vetor diferente de zero que, quando multiplicado por uma matriz quadrada, nos dará de volta um múltiplo do vetor. Esse vetor diferente de zero é chamado de "autovetor". Os vetores próprios não interessam apenas aos matemáticos, mas também a outras pessoas em profissões como física e engenharia. Para calculá-los, você precisará entender a álgebra matricial e os determinantes.
Aprenda e compreenda a definição de "autovetor". É encontrado para uma matriz quadrada n x n A e também um autovalor escalar denominado "lambda". Lambda é representado pela letra grega, mas aqui vamos abreviá-lo para EU. Se houver um vetor x diferente de zero onde Ax = Lx, esse vetor x é chamado de "autovalor de A."
Encontre os autovalores da matriz usando a equação característica det (A - LI) = 0. "Det" representa o determinante e "I" é a matriz de identidade.
Calcule o vetor próprio para cada valor próprio encontrando um espaço próprio E (L), que é o espaço nulo da equação característica. Os vetores diferentes de zero de E (L) são os vetores próprios de A. Estes são encontrados conectando-se os autovetores de volta à matriz característica e encontrando uma base para A - LI = 0.
Calcule os autovalores com o uso da equação característica. Det (A - LI) é (3 - L) (3 - L) --1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, que é o polinômio característico. Resolver isso algebricamente nos dá L1 = 4 e L2 = 2, que são os autovalores de nossa matriz.
Encontre o autovetor para L = 4 calculando o espaço nulo. Faça isso colocando L1 = 4 na matriz característica e encontrando a base para A - 4I = 0. Resolvendo isso, encontramos x - y = 0 ou x = y. Isso tem apenas uma solução independente, pois eles são iguais, como x = y = 1. Portanto, v1 = (1,1) é um autovetor que abrange o espaço próprio de L1 = 4.
Repita a Etapa 6 para encontrar o vetor próprio para L2 = 2. Encontramos x + y = 0 ou x = --y. Isso também tem uma solução independente, digamos x = --1 ey = 1. Portanto, v2 = (--1,1) é um autovetor que abrange o espaço próprio de L2 = 2.