Você pode encontrar situações em que tem uma forma sólida tridimensional e precisa descobrir o área de um plano imaginário inserido através da forma e com bordas definidas pelos limites do sólido.
Por exemplo, se você tinha um tubo cilíndrico correndo sob sua casa medindo 20 metros (m) de comprimento e 0,15 m de largura, você pode querer saber o área transversal do tubo.
As seções transversais podem ser perpendiculares à orientação dos eixos do sólido, se houver. No caso de uma esfera, qualquer plano de corte através da esfera, independentemente da orientação, resultará em um disco de algum tamanho.
A área da seção transversal depende da forma do sólido determinando a seção transversal limites e o ângulo entre o eixo de simetria do sólido (se houver) e o plano que cria o corte transversal.
Área da seção transversal de um sólido retangular
O volume de qualquer sólido retangular, incluindo um cubo, é a área de sua base (comprimento vezes largura) multiplicada por sua altura: V = l × w × h.
Portanto, se uma seção transversal for paralela à parte superior ou inferior do sólido, a área da seção transversal é l × w. Se o plano de corte for paralelo a um dos dois conjuntos de lados, a área da seção transversal será dada por l × h ou w × h.
Se a seção transversal não for perpendicular a nenhum eixo de simetria, a forma criada pode ser um triângulo (se colocado através de um canto do sólido) ou mesmo um hexágono.
Exemplo: Calcule a área da seção transversal de um plano perpendicular à base de um cubo com um volume de 27 m3.
-
Uma vez que l = w = h para um cubo, qualquer aresta do cubo deve ter 3 m de comprimento (uma vez que 3
× 3
× 3 = 27). Uma seção transversal do tipo descrito seria, portanto, um quadrado de 3 m de lado, dando uma área de 9 m2.
Área da seção transversal de um cilindro
Um cilindro é um sólido criado ao estender um círculo através do espaço perpendicular ao seu diâmetro. A área de um círculo é dada pela fórmula πr2, onde r é o raio. Portanto, faz sentido que o volume de um cilindro seja a área de um dos círculos que formam sua base.
Se a seção transversal for paralela ao eixo de simetria, então a área da seção transversal é simplesmente um círculo com uma área de πr2. Se o plano de corte for inserido em um ângulo diferente, a forma gerada é uma elipse. A área usa a fórmula correspondente: πab (onde a é a distância mais longa do centro da elipse até a borda eb é a mais curta).
Exemplo: Qual é a área da seção transversal do tubo sob sua casa descrita na introdução?
-
Isso é apenas πr2 = π (0,15 m)2=
π (0,0225) m2 = 0,071 m2. Observe que o comprimento do tubo é irrelevante para este cálculo.
Área da seção transversal de uma esfera
Qualquer plano teórico colocado através de uma esfera resultará em um círculo (pense nisso por alguns momentos). Se você souber o diâmetro ou a circunferência do círculo que a seção transversal forma, você pode usar as relações C = 2πr e A = πr2 para obter uma solução.
Exemplo: Um avião é rudemente inserido na Terra muito perto do Pólo Norte, removendo uma seção do planeta de 10 m ao redor. Qual é a área da seção transversal desta fatia fria da Terra?
- Dado que C = 2πr = 10 m, r = 10 / 2π = 1,59 m; A = πr2= π(1.59)2= 7,96 m2.