A trigonometria pode parecer um assunto bastante abstrato. Termos misteriosos como "pecado" e "cos" simplesmente não parecem corresponder a nada na realidade, e é difícil entendê-los como conceitos. O círculo unitário ajuda substancialmente com isso, oferecendo uma explicação direta de quais são os números que você obtém quando toma o seno, cosseno ou tangente de um ângulo. Para qualquer estudante de ciências ou matemática, entender o círculo unitário pode realmente cimentar sua compreensão de trigonometria e de como usar as funções.
TL; DR (muito longo; Não li)
Um círculo unitário tem um raio de um. Imagine umxysistema de coordenadas começando no centro deste círculo. Os ângulos dos pontos são medidos é de ondex= 1 ey= 0, no lado direito do círculo. Os ângulos aumentam conforme você se move no sentido anti-horário.
Usando esta estrutura, eypara oy-coordenar expara ox-coordenada do ponto no círculo:
pecadoθ = y
cosθ = x
E consequentemente:
bronzeadoθ = y / x
O que é o Círculo de Unidade?
Um círculo “unitário” tem um raio de 1. Em outras palavras, a distância do centro do círculo a qualquer parte da borda é sempre 1. A unidade de medida realmente não importa, porque o mais importante sobre o círculo unitário é que ele torna muitas equações e cálculos muito mais simples.
Também serve como uma base útil para examinar as definições de ângulos. Imagine que o centro do círculo fica no centro de um sistema de coordenadas com umx-eixo em execução horizontal e umy-eixo funcionando verticalmente. O círculo cruza ox-eixo emx = 1, y= 0. Cientistas e matemáticos definem o ângulo daquele ponto movendo-se no sentido anti-horário. Então, o pontox =1, y= 0 no círculo está em um ângulo de 0 °.
As Definições de Sin e Cos com o Círculo de Unidade
As definições comuns de sin, cos e tan dadas aos alunos referem-se a triângulos. Eles afirmam:
\ sin θ = \ frac {\ text {oposto}} {\ text {hipotenusa}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {adjacente}} {\ text {hipotenusa}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
O "oposto" se refere ao comprimento do lado do triângulo oposto ao ângulo, "adjacente" se refere ao comprimento do lado próximo ao ângulo e "hipotenusa" refere-se ao comprimento do lado diagonal do triângulo.
Imagine criar um triângulo de forma que a hipotenusa seja sempre o raio do círculo unitário, com um canto na borda do círculo e outro no centro. Isso significa que hipotenusa = 1 nas equações acima, então as duas primeiras se tornam:
\ sin θ = \ frac {\ text {oposto}} {1} = \ text {oposto} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {adjacente}} {1} = \ texto {adjacente} \\
Se você fizer do ângulo em questão o do centro do círculo, o oposto será apenas oy-coordenar e o adjacente é apenas ox-coordenada do ponto no círculo que toca o triângulo. Em outras palavras, o pecado retorna oy-coordenar no círculo unitário (usando coordenadas que começam no centro) para um determinado ângulo e cos retorna ox-coordenada. É por isso que cos (0) = 1 e sin (0) = 0, porque neste ponto essas são as coordenadas. Da mesma forma, cos (90) = 0 e sin (90) = 1, porque este é o ponto comx= 0 ey= 1. Na forma de equação:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Os ângulos negativos também são fáceis de entender com base nisso. Os ângulos negativos (medidos no sentido horário a partir do ponto inicial) têm o mesmoxcoordene como o ângulo positivo correspondente, então:
\ cos -θ = \ cos θ
No entanto, oy-coordenar interruptores, o que significa que
\ sin -θ = - \ sin θ
A definição de bronzeado com o círculo de unidade
A definição de bronzeado fornecida acima é:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Mas com as definições do círculo unitário de sin e cos, você pode ver que isso é equivalente a:
\ tan θ = \ frac {\ text {oposto}} {\ text {adjacente}}
Ou pensando em termos de coordenadas:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
Isso explica porque tan é indefinido para 90 ° ou -270 ° e 270 ° ou -90 ° (ondex= 0), porque você não pode dividir por zero.
Gráficos de funções trigonométricas
Representar graficamente o pecado ou cos torna-se mais fácil quando você pensa no círculo unitário. Ox-coordenada varia suavemente conforme você se move ao redor do círculo, começando em 1 e diminuindo para um mínimo de -1 em 180 °, e então aumentando da mesma maneira. A função sin faz a mesma coisa, mas aumenta para um valor máximo de 1 a 90 ° primeiro, antes de seguir o mesmo padrão. As duas funções estão 90 ° defasadas uma da outra.
Desenhar o bronzeado requer divisãoydex, e por isso é mais complicado de representar graficamente e também tem pontos em que é indefinido.