Dominar os conceitos de seno e cosseno é parte integrante da trigonometria. Mas, uma vez que você tenha essas ideias sob controle, elas se tornam os blocos de construção para outras ferramentas úteis em trigonometria e, mais tarde, cálculo. Por exemplo, a "lei dos cossenos" é uma fórmula especial que você pode usar para encontrar o lado que falta de um triângulo se você souber o comprimento dos outros dois lados mais o ângulo entre eles, ou para encontrar os ângulos de um triângulo quando você conhece todos os três lados.
A Lei dos Cossenos
A lei dos cossenos vem em várias versões, dependendo de quais ângulos ou lados do triângulo você está lidando:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
Em cada caso,uma, becsão os lados de um triângulo, eUMA, B, ouCé o ângulo oposto ao lado da mesma letra. EntãoUMAé o ângulo do lado opostoa, Bé o ângulo do lado opostob, eCé o ângulo do lado opostoc. Esta é a forma da equação que você usa se estiver encontrando o comprimento de um dos lados do triângulo.
A lei dos cossenos também pode ser reescrita em versões que tornam mais fácil encontrar qualquer um dos três ângulos do triângulo, assumindo que você conhece os comprimentos de todos os três lados do triângulo:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Resolvendo para um lado
Para usar a lei dos cossenos para resolver o lado de um triângulo, você precisa de três informações: os comprimentos dos outros dois lados do triângulo, mais o ângulo entre eles. Escolha a versão da fórmula em que o lado que você deseja encontrar está à esquerda da equação e as informações que você já possui estão à direita. Então, se você quiser encontrar o comprimento do ladouma, você usaria a versão
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Substitua os valores dos dois lados conhecidos e o ângulo entre eles na fórmula. Se o seu triângulo tem lados conhecidosbecque medem 5 unidades e 6 unidades respectivamente, e o ângulo entre elas mede 60 graus (que também pode ser expresso em radianos como π / 3), você teria:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Use uma tabela ou calculadora para pesquisar o valor do cosseno; neste caso, cos (60) = 0,5, dando-lhe a equação:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Simplifique o resultado da Etapa 2. Isso dá a você:
a ^ 2 = 25 + 36 - 30
O que, por sua vez, simplifica para:
a ^ 2 = 31
Tire a raiz quadrada de ambos os lados para terminar de resolver parauma. Isso deixa você com:
a = \ sqrt {31}
Embora você possa usar um gráfico ou sua calculadora para estimar o valor de √31 (é 5,568), muitas vezes você terá permissão - e até mesmo será incentivado - a deixar a resposta em sua forma radical mais precisa.
Resolvendo para um ângulo
Você pode aplicar o mesmo processo para encontrar qualquer um dos ângulos do triângulo se conhecer todos os três lados. Desta vez, você escolherá a versão da fórmula que coloca o ângulo ausente ou "não sei" no lado esquerdo do sinal de igual. Imagine que você deseja encontrar a medida do ângulo C (que, lembre-se, é definido como o ângulo do lado opostoc). Você usaria esta versão da fórmula:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Substitua os valores conhecidos - neste tipo de problema, isso significa os comprimentos de todos os três lados do triângulo - na equação. Por exemplo, deixe os lados do seu triângulo seremuma= 3 unidades,b= 4 unidades ec= 25 unidades. Portanto, sua equação se torna:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Depois de simplificar a equação resultante, você terá:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
ou simplesmente cos (C) = 0.
Calcule o cosseno inverso ou arco cosseno de 0, frequentemente notado como cos-1(0). Ou, em outras palavras, qual ângulo tem um cosseno de 0? Na verdade, existem dois ângulos que retornam esse valor: 90 graus e 270 graus. Mas, por definição, você sabe que cada ângulo em um triângulo deve ser inferior a 180 graus, de modo que deixa apenas 90 graus como opção.
Portanto, a medida do seu ângulo ausente é de 90 graus, o que significa que você está lidando com um triângulo retângulo, embora esse método funcione também com triângulos não retos.