Como Simplificar Frações Radicais

As frações radicais não são pequenas frações rebeldes que ficam até tarde, bebendo e fumando maconha. Em vez disso, são frações que incluem radicais - geralmente raízes quadradas quando você é apresentado ao conceito, mas mais tarde você também pode encontrar raízes cúbicas, raízes quartas e semelhantes, todas as quais são chamadas radicais também. Dependendo exatamente do que seu professor está pedindo que você faça, há duas maneiras de simplificar as frações radicais: fatorar o radical para fora inteiramente, simplifique-o ou "racionalize" a fração, o que significa que você elimina o radical do denominador, mas ainda pode ter um radical no numerador.

Considere sua primeira opção, fatorando o radical da fração. Na verdade, existem duas maneiras de fazer isso. Se o mesmo radical existe em todos os termos na parte superior e inferior da fração, você pode simplesmente fatorar e cancelar a expressão radical. Por exemplo, se você tem:

(2√3) / (3√3_)_

Você pode fatorar os dois radicais, porque eles estão presentes em todos os termos do numerador e do denominador. Isso deixa você com:

√3/√3 × 2/3

E como qualquer fração com exatamente os mesmos valores diferentes de zero no numerador e denominador é igual a um, você pode reescrever isso como:

1 × 2/3

Ou simplesmente 2/3.

Às vezes, você se depara com uma expressão radical que não tem uma resposta concisa, como √3 do exemplo anterior. Nesse caso, você geralmente preservará o termo radical exatamente como está, usando operações básicas como fatoração ou cancelamento para removê-lo ou isolá-lo. Mas às vezes há uma resposta óbvia. Considere a seguinte fração:

(√4)/(√9)

Nesse caso, se você conhece suas raízes quadradas, pode ver que ambos os radicais representam, na verdade, inteiros familiares. A raiz quadrada de 4 é 2 e a raiz quadrada de 9 é 3. Portanto, se você vir raízes quadradas familiares, pode simplesmente reescrever a fração com elas em sua forma simplificada e inteira. Nesse caso, você teria:

2/3

Isso também funciona com raízes cúbicas e outros radicais. Por exemplo, a raiz cúbica de 8 é 2 e a raiz cúbica de 125 é 5. Então, se você encontrou:

(³√8) / (³√125)

Você seria, com um pouco de prática, capaz de ver imediatamente que isso simplifica ao muito mais simples e fácil de manusear:

2/5

Freqüentemente, os professores permitem que você mantenha expressões radicais no numerador de sua fração; mas, assim como o número zero, os radicais causam problemas quando aparecem no denominador ou número inferior da fração. Portanto, a última forma de simplificar as frações radicais é uma operação chamada racionalizando-as, que significa apenas tirar o radical do denominador. Freqüentemente, isso significa que a expressão radical aparece no numerador.

Considere a fração

4/_√_5

Você não pode simplificar facilmente _√_5 para um inteiro e, mesmo se fatorá-lo, ainda resta uma fração que tem um radical no denominador, da seguinte maneira:

1/_√_5 × 4/1

Portanto, nenhum dos métodos já discutidos funcionará. Mas se você se lembrar das propriedades das frações, uma fração com qualquer número diferente de zero na parte superior e na parte inferior é igual a 1. Então você pode escrever:

√_5/√_5 = 1

E porque você pode multiplicar 1 vezes qualquer outra coisa sem alterar o valor dessa outra coisa, você também pode escrever o seguinte sem realmente alterar o valor da fração:

√_5/√5 × 4/√_5

Depois de multiplicar, algo especial acontece. O numerador se torna 4_√_5, o que é aceitável porque seu objetivo era simplesmente tirar o radical do denominador. Se aparecer no numerador, você pode lidar com isso.

Enquanto isso, o denominador torna-se √_5 × √5 ou (√_5)². E como uma raiz quadrada e um quadrado se cancelam, isso simplifica para simplesmente 5. Portanto, sua fração agora é:

4_√_5 / 5, que é considerada uma fração racional porque não há radical no denominador.