Depois de começar a fazer trigonometria e cálculo, você pode encontrar expressões como sin (2θ), onde é solicitado que você encontre o valor deθ. Jogar por tentativa e erro com gráficos ou uma calculadora para encontrar a resposta poderia variar de um pesadelo prolongado a totalmente impossível. Felizmente, as identidades de ângulo duplo estão aqui para ajudar. Estas são instâncias especiais do que é conhecido como uma fórmula composta, que quebra as funções das formas (UMA + B) ou (UMA – B) em funções de apenasUMAeB.
As identidades de ângulo duplo para seno
Existem três identidades de ângulo duplo, cada uma para as funções seno, cosseno e tangente. Mas as identidades seno e cosseno podem ser escritas de várias maneiras. Aqui estão as duas maneiras de escrever a identidade de ângulo duplo para a função seno:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
As identidades de ângulo duplo para cosseno
Existem ainda mais maneiras de escrever a identidade de ângulo duplo para cosseno:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1 - 2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
A Identidade de Ângulo Duplo para Tangente
Felizmente, há apenas uma maneira de escrever a identidade de ângulo duplo para a função tangente:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Usando Identidades de Ângulo Duplo
Imagine que você está diante de um triângulo retângulo onde conhece o comprimento de seus lados, mas não a medida de seus ângulos. Você foi solicitado a encontrarθ, Ondeθé um dos ângulos do triângulo. Se a hipotenusa do triângulo mede 10 unidades, o lado adjacente ao seu ângulo mede 6 unidades e o lado oposto ao ângulo mede 8 unidades, não importa que você não saiba a medida deθ; você pode usar seu conhecimento de seno e cosseno, além de uma das fórmulas de ângulo duplo, para encontrar a resposta.
Depois de escolher um ângulo, você pode definir seno como a proporção do lado oposto sobre a hipotenusa e cosseno como a proporção do lado adjacente sobre a hipotenusa. Portanto, no exemplo dado, você tem:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Você encontra essas duas expressões porque são os blocos de construção mais importantes para as fórmulas de ângulo duplo.
Como existem tantas fórmulas de ângulo duplo para escolher, você pode selecionar aquela que parece mais fácil de calcular e retornará o tipo de informação de que precisa. Neste caso, porque você conhece o pecadoθe cosθjá, está claro que a expressão mais conveniente é:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Você já conhece os valores de sinθ e cosθ, então substitua-os na equação:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
Depois de simplificar, você terá:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
A maioria dos gráficos trigonométricos são dados em decimais, então, a seguir, trabalhe a divisão representada pela fração para convertê-la na forma decimal. Agora você tem:
\ sin (2θ) = 0,96
Finalmente, encontre o seno ou arco seno inverso de 0,96, que é escrito como pecado −1(0.96). Ou, em outras palavras, use sua calculadora ou um gráfico para aproximar o ângulo que tem um seno de 0,96. Acontece que isso é quase exatamente igual a 73,7 graus. Então 2θ= 73,7 graus.
Divida cada lado da equação por 2. Isso dá a você:
θ = 36,85 \ texto {graus}
