Distribuição de Maxwell-Boltzmann: Função, Derivação e Exemplos

Descrever o que está acontecendo com partículas muito pequenas é um desafio da física. Não só é difícil trabalhar com seu tamanho, mas na maioria das aplicações diárias, você não está lidando com uma única partícula, mas com inúmeras delas interagindo umas com as outras.

Dentro de um sólido, as partículas não passam umas pelas outras, mas, em vez disso, ficam praticamente presas no lugar. Os sólidos podem expandir e contrair com as variações de temperatura, entretanto, e às vezes até mesmo sofrer mudanças interessantes em estruturas cristalinas em certas situações.

Em líquidos, as partículas são livres para passar umas pelas outras. Os cientistas não tendem a estudar fluidos, no entanto, tentando acompanhar o que cada molécula individual está fazendo. Em vez disso, eles olham para propriedades maiores do todo, como viscosidade, densidade e pressão.

Assim como acontece com os líquidos, as partículas dentro de um gás também são livres para passar umas pelas outras. Na verdade, os gases podem sofrer mudanças dramáticas de volume devido às diferenças de temperatura e pressão.

Novamente, não faz sentido estudar um gás acompanhando o que cada molécula de gás individual está fazendo, mesmo em equilíbrio térmico. Não seria viável, especialmente quando você considera que mesmo no espaço de um copo vazio existem cerca de 10²² moléculas de ar. Não há nem mesmo um computador poderoso o suficiente para executar uma simulação de tantas moléculas interagindo. Em vez disso, os cientistas usam propriedades macroscópicas como pressão, volume e temperatura para estudar gases e fazer previsões precisas.

O tipo de gás mais fácil de analisar é um gás ideal. É ideal porque permite certas simplificações que tornam a física muito mais fácil de entender. Muitos gases em temperaturas e pressões padrão atuam aproximadamente como gases ideais, o que também torna o estudo deles útil.

Em um gás ideal, presume-se que as próprias moléculas de gás colidem em colisões perfeitamente elásticas, de modo que você não precisa se preocupar com a mudança de forma de energia como resultado de tais colisões. Também é assumido que as moléculas estão muito distantes umas das outras, o que essencialmente significa você não precisa se preocupar com eles lutando entre si por espaço e pode tratá-los como um ponto partículas. Os gases ideais também não são muito quentes nem muito frios, então você não precisa se preocupar com efeitos como ionização ou efeitos quânticos.

A partir daqui, as partículas de gás podem ser tratadas como pequenas partículas pontuais saltando dentro de seu recipiente. Mas mesmo com essa simplificação, ainda não é viável entender os gases rastreando o que cada partícula individual está fazendo. No entanto, permite que os cientistas desenvolvam modelos matemáticos que descrevem as relações entre as quantidades macroscópicas.

A lei dos gases ideais relaciona a pressão, o volume e a temperatura de um gás ideal. A pressãoPde um gás é a força por unidade de área que ele exerce nas paredes do recipiente em que está. A unidade SI de pressão é o pascal (Pa) onde 1Pa = 1N / m². O volumeVdo gás é a quantidade de espaço que ocupa em unidades SI de m³. E a temperaturaTdo gás é uma medida da energia cinética média por molécula, medida em unidades SI de Kelvin.

A equação que descreve a lei dos gases ideais pode ser escrita da seguinte forma:

OndeNé o número de moléculas ou número de partículas e a constante de Boltzmannk​ = 1.38064852×10^-23 kgm²/ s²K.

Uma formulação equivalente desta lei é:

Ondené o número de moles e a constante universal de gásR= 8,3145 J / molK.

Essas duas expressões são equivalentes. Qual você escolhe usar depende simplesmente de se você está medindo sua contagem de moléculas em mols ou em número de moléculas.

• 1 mole = 6,022 × 10²³ moléculas, que é o número de Avogadro.

Uma vez que um gás tenha sido aproximado como ideal, você pode fazer uma simplificação adicional. Ou seja, em vez de considerar a física exata de cada molécula - o que seria impossível devido ao seu número absoluto - eles são tratados como se seus movimentos fossem aleatórios. Por causa disso, as estatísticas podem ser aplicadas para entender o que está acontecendo.

No século 19, os físicos James Clerk Maxwell e Ludwig Boltzmann desenvolveram a teoria cinética dos gases com base nas simplificações descritas.

Classicamente, cada molécula em um gás pode ter uma energia cinética atribuída a ela da forma:

Nem todas as moléculas do gás, entretanto, têm a mesma energia cinética porque estão em constante colisão. A distribuição exata das energias cinéticas das moléculas é dada pela distribuição de Maxwell-Boltzmann.

As estatísticas de Maxwell-Boltzmann descrevem a distribuição de moléculas de gás ideais em vários estados de energia. A função que descreve essa distribuição é a seguinte:

OndeUMAé uma constante de normalização,Eé energia,ké a constante de Boltzmann eTé a temperatura.

Outras suposições feitas para obter esta função são que, devido à sua natureza de partícula pontual, não há limite de quantas partículas podem ocupar um determinado estado. Além disso, a distribuição de partículas entre os estados de energia assume necessariamente a distribuição mais provável (com maior número de partículas, as chances de o gás não estar perto dessa distribuição tornam-se cada vez mais pequeno). E, finalmente, todos os estados de energia são igualmente prováveis.

Essas estatísticas funcionam porque é extremamente improvável que qualquer partícula possa terminar com uma energia significativamente acima da média. Se assim fosse, haveria muito menos maneiras de distribuir o restante da energia total. Tudo se resume a um jogo de números - como há muito mais estados de energia que não têm uma partícula muito acima da média, a probabilidade de o sistema estar em tal estado é muito pequena.

No entanto, energias mais baixas do que a média são mais prováveis, novamente por causa de como as probabilidades funcionam. Como todo movimento é considerado aleatório e há um número maior de maneiras pelas quais uma partícula pode terminar em um estado de baixa energia, esses estados são favorecidos.

A distribuição de Maxwell-Boltzmann é a distribuição das velocidades das partículas de gás ideais. Esta função de distribuição de velocidade pode ser derivada das estatísticas de Maxwell-Boltzmann e usada para derivar relações entre pressão, volume e temperatura.

A distribuição de velocidadevé dado pela seguinte fórmula:

Ondemé a massa de uma molécula.

A curva de distribuição associada, com a função de distribuição de velocidade noy-eixo e a velocidade molecular nox-eixo, parece mais ou menos uma curva normal assimétrica com uma cauda mais longa à direita. Tem um valor de pico na velocidade mais provávelv_p, e uma velocidade média dada por:

Observe também como ele tem uma cauda longa e estreita. A curva muda ligeiramente em diferentes temperaturas, com a cauda longa se tornando "mais gorda" em temperaturas mais altas.

Use o relacionamento:

OndeE_inté a energia interna,KE​_​média​ é a energia cinética média por molécula da distribuição de Maxwell-Boltzmann. Junto com a lei dos gases ideais, é possível obter uma relação entre pressão e volume em termos de movimento molecular: