Czy widziałeś kiedyś jednego z tych zabawkowych ptaków, które potrafią balansować na czubku palca za pomocą dzioba bez przewracania się, jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki? To nie magia pozwala ptakowi w ogóle zachować równowagę, ale prosta fizyka związana ze środkiem masy.
Zrozumienie fizyki kryjącej się za środkiem masy pozwala nie tylko zrozumieć zasadę zachowania pędu i innych powiązanych fizyki, ale może również informować o stabilności i dynamice uprawianych sportów, a także pozwalać na kreatywne balansowanie dzieje.
Definicja środka masy
Obiektśrodek masy, czasami nazywany także środkiem ciężkości, może być traktowany jako punkt, w którym całkowita masa obiektu lub układu może być traktowana jako masa punktowa. W pewnych sytuacjach siły zewnętrzne można traktować tak, jakby działały na środek masy obiektu.
Dla ptaka-zabawki balansującego na czubku palca, środek masy znajduje się na jego dziobie. Na początku może się to wydawać błędne, dlatego akt równoważenia wydaje się magiczny. Rzeczywiście, dla ptaka siedzącego na gałęzi jego środek masy znajduje się gdzieś w jego ciele. Ale balansująca zabawka dla ptaków często ma obciążone skrzydła, które rozciągają się na zewnątrz i do przodu, co powoduje, że balansuje inaczej.
Środek masy można wyznaczyć dla pojedynczego obiektu – takiego jak ptak balansujący – lub obliczyć dla układu kilku obiektów, jak zobaczymy w dalszej części.
Środek masy pojedynczego obiektu
Na ciele sztywnym zawsze będzie jeden punkt, w którym znajduje się środek masy tego ciała. Położenie środka masy obiektu zależy od rozkładu masy.
Jeśli obiekt ma jednorodną gęstość, łatwiej jest określić jego środek masy. Na przykład w okręgu o jednolitej gęstości środek masy jest środkiem okręgu. (Nie miałoby to jednak miejsca, gdyby krąg był gęstszy z jednej strony niż z drugiej).
W rzeczywistości środek masy zawsze będzie znajdował się w geometrycznym środku obiektu, gdy gęstość jest jednorodna. (To geometryczne centrum nazywa sięcentroid.)
Jeśli gęstość nie jest jednolita, istnieją inne sposoby wyznaczenia środka masy. Niektóre z tych metod wymagają użycia rachunku różniczkowego, co wykracza poza zakres tego artykułu. Ale jednym prostym sposobem określenia środka masy sztywnego obiektu jest po prostu próba zrównoważenia go na czubku palca. Środek masy będzie znajdował się w punkcie równowagi.
Inna metoda, przydatna w przypadku obiektów planarnych, jest następująca:
- Zawieś kształt od jednego punktu krawędziowego wzdłuż linii pionu.
- Narysuj linię na kształcie, która pokrywa się z linią pionu.
- Zawieś kształt od innego punktu krawędzi wraz z linią pionu.
- Narysuj linię na kształcie, która pokrywa się z nową linią pionu.
- Dwie narysowane linie powinny przecinać się w jednym punkcie.
- Ten wyjątkowy punkt przecięcia to lokalizacja środka masy.
Jednak w przypadku niektórych obiektów punkt równowagi może znajdować się poza granicami samego obiektu. Pomyśl na przykład o pierścionku. Środek masy dla kształtu pierścienia znajduje się w środku, gdzie w ogóle nie istnieje żadna część pierścienia.
Środek masy układu cząstek
Położenie środka masy dla układu cząstek można traktować jako ich średnią pozycję masy.
Ta sama idea może być zastosowana w przypadku sztywnego obiektu, jeśli wyobrazisz sobie, że ten układ cząstek jest połączony sztywną, bezmasową płaszczyzną. Środek masy byłby wówczas punktem równowagi tego układu.
Aby matematycznie wyznaczyć środek masy układu cząstek, można posłużyć się następującym prostym wzorem:
\vec{r} = \frac{1}{M}(m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...
GdzieMto całkowita masa układu,mjasą poszczególne masy irjasą ich wektorami pozycji.
W jednym wymiarze (dla mas rozłożonych wzdłuż linii prostej) można wymienićrzx.
W dwóch wymiarach można znaleźćx-koordynować itak-współrzędna środka masy oddzielnie jako:
x_{cm} = \frac{1}{M}(m_1x_1 + m_2x_2 +... \\ \text{ }\\ r_{cm} = \frac{1}{M}(m_1r_1 + m_2r_2 + ...
Przykłady obliczania środka masy
Przykład 1:Znajdź współrzędne środka masy następującego układu cząstek: cząstka o masie 0,1 kg znajduje się w (1, 2), cząstka o masie 0,05 kg znajduje się w (2, 4) i cząstka o masie 0,075 kg znajduje się w (2, 1).
Rozwiązanie 1:Zastosuj wzór naxwspółrzędna środka masy w następujący sposób:
x_{cm} = \frac{1}{M}(m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3) \\\text{ }\\= \frac{1}{0,1 + 0,05 + 0,075}(0,1(1) + 0,05(2 ) + 0,075(2))\\\tekst{ }\\=0,079
Następnie zastosuj wzór natakwspółrzędna środka masy w następujący sposób:
y_{cm} = \frac{1}{M}(m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3) \\\text{ }\\= \frac{1}{0,1 + 0,05 + 0,075}(0,1(2) + 0,05(4 ) + 0,075(1))\\\text{ }\\=2,11
Tak więc położenie środka masy to (0,079, 2,11).
Przykład 2:Znajdź położenie środka masy trójkąta równobocznego o jednolitej gęstości, którego wierzchołki leżą w punktach (0, 0), (1, 0) i (1/2, √3/2).
Rozwiązanie 2:Musisz znaleźć geometryczny środek tego trójkąta równobocznego o długości boku 1.x-współrzędna środka geometrycznego jest prosta – to po prostu 1/2.
tak-koordynacja jest trochę trudniejsza. Pojawi się w miejscu, w którym linia biegnąca od wierzchołka trójkąta do punktu (0, 1/2) przecina się z linią z dowolnego innego wierzchołka do punktu środkowego jednego z przeciwległych stron. Jeśli naszkicujesz taki układ, znajdziesz się z trójkątem prostokątnym 30-60-90, którego długa noga to 0,5, a krótka noga totak-koordynować. Zależność między tymi bokami to √3y = 1/2, stąd y = √3/6, a współrzędne środka masy to (1/2, √3/6).
Ruch Centrum Mszy
Położenie środka masy obiektu lub układu obiektów może służyć jako punkt odniesienia w wielu obliczeniach fizycznych.
Na przykład podczas pracy z układem oddziałujących cząstek znalezienie środka masy układu pozwala na zrozumienie pędu liniowego. Gdy zachowany jest pęd liniowy, środek masy układu porusza się ze stałą prędkością, nawet gdy same obiekty odbijają się od siebie.
W przypadku spadającego sztywnego obiektu, grawitacja może być traktowana jako działająca na środek masy tego obiektu, nawet jeśli ten obiekt się obraca.
To samo dotyczy pocisków. Wyobraź sobie, że rzucasz młotkiem, który leci po łuku w powietrzu i obraca się jeden na drugim. Na początku może się to wydawać skomplikowanym ruchem do modelowania, ale okazuje się, że środek masy młotka porusza się po ładnej, gładkiej parabolicznej ścieżce.
Można przeprowadzić prosty eksperyment, który to pokazuje, przyklejając mały kawałek taśmy żarowej do środka masy młotka, a następnie rzucając młotkiem, jak opisano w ciemnym pokoju. Świecąca taśma będzie wydawała się poruszać po płynnym łuku, jak rzucona piłka.
Prosty eksperyment: znajdź środek masy miotły
Zabawny eksperyment ze środkiem masy, który możesz przeprowadzić w domu, polega na użyciu prostej techniki znajdowania środka masy miotły. Wszystko czego potrzebujesz do tego eksperymentu to jedna miotła i dwie ręce.
Ręce stosunkowo szeroko rozstawione, trzymaj miotłę na końcach dwóch palców wskazujących. Następnie powoli zsuń ręce bliżej siebie, wsuwając je pod miotłę. Gdy zbliżasz ręce bliżej siebie, możesz zauważyć, że jedna ręka chce przesunąć się po dolnej części trzonka miotły, podczas gdy druga pozostaje przez chwilę przed zsunięciem.
Przez cały czas poruszania rękami miotła pozostaje w równowadze. W końcu, kiedy twoje dwie ręce się spotkają, spotkają się w miejscu, w którym znajduje się środek masy miotły.
Centrum Masy Ciała Ludzkiego
Środek masy ludzkiego ciała znajduje się gdzieś w pobliżu pępka (pępka). U mężczyzn środek masy jest zwykle nieco wyższy, ponieważ mają większą masę ciała w górnej części ciała, au kobiet środek masy jest niższy, ponieważ mają większą masę w biodrach.
Jeśli staniesz na jednej nodze, twój środek masy przesunie się w kierunku boku stopy, na której stoisz. Możesz zauważyć, że pochylasz się bardziej w tę stronę. Dzieje się tak dlatego, że aby zachować równowagę, środek masy musi pozostać nad stopą, na której balansujesz, w przeciwnym razie przewrócisz się.
Jeśli staniesz jedną nogą i biodrem przy ścianie i spróbujesz podnieść drugą nogę, prawdopodobnie okaże się to niemożliwe, ponieważ ściana uniemożliwia przeniesienie ciężaru ciała na nogę równoważącą.
Kolejną rzeczą do wypróbowania jest stanie tyłem do ściany i dotykanie piętami ściany. Następnie spróbuj pochylić się do przodu i dotknąć podłogi bez zginania nóg. Kobiety mogą odnieść większe sukcesy w tym zadaniu niż mężczyźni, ponieważ ich środek masy znajduje się niżej w ich ciele i mogą nadal znajdować się nad palcami, gdy pochylają się do przodu.
Centrum Masy i Stabilności
Położenie środka masy względem podstawy obiektu decyduje o jego stabilności. Coś jest uważane za stabilnie wyważone, jeśli po lekkim przechyleniu, a następnie zwolnieniu, wraca do swojej pierwotnej pozycji, zamiast dalej się przechylać i przewracać.
Rozważ trójwymiarowy kształt piramidy. Wyważony na swojej podstawie jest stabilny. Jeśli lekko uniesiesz jeden koniec i puścisz go, opadnie z powrotem. Ale jeśli spróbujesz zrównoważyć piramidę na jej czubku, wszelkie odchylenia od idealnej równowagi spowodują, że się przewróci.
Możesz określić, czy obiekt spadnie z powrotem do swojej pierwotnej pozycji, czy przewróci się, patrząc na położenie środka masy względem podstawy. Gdy środek masy przesunie się za podstawę, obiekt przewróci się.
Jeśli uprawiasz sport, możesz być zaznajomiony z pozycją gotowości, w której stoisz z szerokim rozstawem i ugiętymi kolanami. Dzięki temu środek ciężkości jest niski, a szeroka podstawa zapewnia większą stabilność. Zastanów się, jak mocno ktoś musiałby cię popchnąć, aby cię przewrócić, jeśli jesteś w gotowej pozycji vs. gdy stoisz prosto ze złączonymi stopami.
Niektóre samochody mają problemy z przewróceniem się podczas ostrych zakrętów. Wynika to z położenia ich środka masy. Jeśli środek masy pojazdu jest zbyt wysoki, a podstawa nie jest wystarczająco szeroka, to nie trzeba wiele czasu, aby pojazd się przewrócił. Zawsze najlepiej, aby stabilność pojazdu była jak najniższa.