Czy zastanawiałeś się kiedyś, ile wody lub kawy zmieści się w jednym z tych pozornie niezliczonych plastikowych jednorazowych kubków na wodę, węższych u podstawy niż u góry? Innymi słowy, prawie każdy papierowy, plastikowy lub inny jednorazowy kubek, jaki kiedykolwiek widziałeś lub używałeś? (Szczerze mówiąc, niektóre miseczki nie mają pochyłych boków i dlatego są cylindryczne, ale wydaje się, że dotyczy to tylko stały kubki.)
Opisany powyżej typ kształtu oparty jest na stożek, który jest wynikiem linii przechodzącej przez przestrzeń i wyznaczającej zakrzywioną ścieżkę, taką jak okrąg (w najprostszym przypadku) lub elipsa. Kubek zwykle nie jest szpiczasty (niektóre, które przechowują mrożone smakołyki, są), ale nadal jest „kawałkiem” stożka, mówiąc geometrycznie. Dzięki temu łatwo, cierpliwie, znaleźć tom.
Objętość stożka
Wzór na objętość zwykłego lub prawego stożka (czyli takiego o okrągłej podstawie) to
V=\frac{1}{3}πr^2h
Gdzie r jest promieniem podstawy i h to wysokość stożka. Ponadto, ponieważ z boku prawy stożek wygląda jak dwa prostokątne trójkąty ustawione razem, długość
s pochyłej strony stożka ma taką samą wartość jak przeciwprostokątna jednego z tych trójkątów. Jest to zatem podane przez zastosowanie twierdzenia Pitagorasa: r2 + h2 = s2, więcs=\sqrt{r^2 + h^2}
Objętość stożkowego kubka: część pierwsza
Załóżmy, że masz kubek o szerokości 8 centymetrów (cm) u podstawy, średnicy 10 cm u góry i wysokości 15 cm. Ile płynu może pomieścić w cm3, zwany także mililitrami (ml)?
Jednym ze sposobów podejścia do tego problemu jest narysowanie przekroju kubka, czyli tego, jak wygląda z boku po przycięciu dokładnie w połowie prostopadle do naszego pola widzenia. Jeśli narysujesz pionowe linie w górę od dwóch punktów, w których podstawa styka się z bokami do góry kubek, podzieliłeś teraz przekrój na dwa równe, odbite trójkąty prostokątne i a prostokąt. Trójkąty mają długie „nogi” 15 cm i krótkie „nogi” 1 cm (rozdzielając różnicę między szerokością podstawy a szerokością góry).
Objętość stożkowego kubka: część druga
Zwróć uwagę, co się stanie, jeśli przedłużysz boki miseczki na swoim schemacie do punktu poniżej podstawy. Rozciągnij również linię w górę od środka góry w kierunku punktu, do którego te linie się zbiegają. (Możesz nie mieć miejsca, aby boki stykały się i tworzyły zamknięty trójkąt, ale zbliż się tak blisko, jak to tylko możliwe)
Z zasady podobnych trójkątów wiadomo, że stosunek długiej nogi trójkątów z góry (15 cm) do małej nogi (1 cm) lub 15 do 1, musi być taki sam, jak stosunek małej nogawki do długiej nogawki jednego z nowo utworzonych trójkątów między podstawą „kubka” a punkt. Ponieważ mała noga ma wartość 4 cm, długa noga musi być 15 razy większa, czyli 60 cm.
Mamy więc teraz do czynienia z przekrojem stożka o całkowitej wysokości 15 + 60 = 75 cm i szerokości 10 cm, co oznacza promień 5 cm. Objętość tego stożka pomniejszona o objętość stożka sięgającego do podstawy kubka, który ma wysokość 60 cm i szerokość 8 cm (r = 4 cm) daje pożądany wynik:
\begin{wyrównane} \frac{1}{3}×π×5^2×75 = 1963,5 \text{ mL} \\ \frac{1}{3}×π×4^2×60 = 1005.3 \text { ml} \\ 1963,5 - 1005,3 = 958,2 \text{ ml} \end{wyrównane}
Dzięki temu Twój kubek mieści bardzo blisko 1 l (1000 ml) płynu.
Kalkulator objętości stożka i kubka
Zobacz Zasoby, aby zapoznać się z listą kalkulatorów wykorzystujących czopki z różnymi początkowymi kombinacjami informacji. Alternatywnie możesz zastosować podejście takie jak powyżej i podzielić filiżankę na różne kształty, a następnie użyć prostsze formuły (takie jak wzór na objętość sześcianu) w odpowiednich kombinacjach, aby znaleźć sumę Tom.