Jak obliczyć trajektorie

​Ruch pociskuodnosi się do ruchu cząstki, która otrzymuje prędkość początkową, ale nie jest następnie poddawana żadnym siłom poza siłą grawitacji.

Obejmuje to problemy, w których cząstka jest rzucana pod kątem od 0 do 90 stopni do poziomu, przy czym pozioma jest zwykle ziemią. Dla wygody zakłada się, że pociski te przemieszczają się w (x, y) samolot, zxreprezentujące przemieszczenie poziome itakprzemieszczenie pionowe.

Ścieżka pocisku jest określana jako its istrajektoria. (Zauważ, że wspólnym łącznikiem w słowach „pocisk” i „trajektoria” jest sylaba „-wyrzut”, łacińskie słowo oznaczające „rzut”. Wyrzucenie kogoś oznacza dosłownie wyrzucenie go). Dla uproszczenia za punkt startowy pocisku w zadaniach, w których trzeba obliczyć trajektorię przyjmuje się zwykle (0, 0), chyba że jest inaczej stwierdził.

Trajektoria pocisku jest parabolą (lub przynajmniej śledzi część paraboli), jeśli cząstka zostanie wystrzelona w taki sposób, że ma niezerową składową ruchu poziomego i nie ma oporu powietrza, który wpływałby na cząstka.

Zmiennymi będącymi przedmiotem zainteresowania w ruchu cząstki są jej współrzędne położeniaxitak, jego prędkośćvi jego przyspieszenieza, wszystko w odniesieniu do podanego czasu, który upłynąłtod początku problemu (kiedy cząsteczka zostaje wystrzelona lub uwolniona). Zauważ, że pominięcie masy (m) implikuje, że grawitacja na Ziemi działa niezależnie od tej wielkości.

Zauważ również, że te równania ignorują rolę oporu powietrza, który tworzy siłę oporu przeciwstawiającą się ruchowi w rzeczywistych sytuacjach na Ziemi. Ten czynnik jest wprowadzany na wyższych poziomach kursów mechaniki.

Zmienne z indeksem dolnym „0” odnoszą się do wartości tej wielkości w czasiet= 0 i są stałymi; często wartość ta wynosi 0 dzięki wybranemu układowi współrzędnych, a równanie staje się o wiele prostsze. Przyspieszenie jest w tych problemach traktowane jako stałe (jest w kierunku y i jest równe -sol,lub–9,8 m/s², przyspieszenie spowodowane grawitacją w pobliżu powierzchni Ziemi).

​Ruch poziomy​:

• Termin 

​v_xjest stałą prędkością x.

​Ruch pionowy:​

Kluczem do rozwiązania problemów obejmujących obliczenia trajektorii jest wiedza, że ​​składowe pozioma (x) i pionowa (y) ruch można analizować oddzielnie, jak pokazano powyżej, a ich odpowiedni wkład w ogólny ruch starannie zsumowany na końcu problem.

Problemy z ruchem pocisków liczą się jako problemy ze swobodnym spadaniem, ponieważ niezależnie od tego, jak wszystko wygląda dobrze po czasiet= 0, jedyną siłą działającą na poruszający się obiekt jest grawitacja.

• Należy pamiętać, że ponieważ grawitacja działa w dół, a to jest uważane za ujemny kierunek y, wartość przyspieszenia w tych równaniach i problemach wynosi -g.

1. Najszybsi miotacze w baseballu mogą rzucić piłkę z prędkością nieco ponad 100 mil na godzinę, czyli 45 m/s. Jeśli piłka zostanie rzucona pionowo w górę z tą prędkością, jak wysoko się osiągnie i ile czasu zajmie powrót do punktu, w którym została wypuszczona?

Tutajv_y0= 45 m/s, -sol= –9,8 m/s, a wielkościami zainteresowania są wysokość ostateczna, lubtak,i całkowity czas powrotu na Ziemię. Całkowity czas to dwuczęściowa kalkulacja: czas do y i czas z powrotem do y₀ = 0. W pierwszej części problemuv_tak,gdy piłka osiągnie szczytową wysokość, wynosi 0.

Zacznij od użycia równaniav_tak²= v_0y² – 2g (r – y₀)i wpinając wartości które masz:

Równaniev_tak = v_0y – gpokazuje, że czas t wynosi (45/9,8) = 4,6 sekundy. Aby uzyskać całkowity czas, dodaj tę wartość do czasu, w którym piłka swobodnie spada do punktu początkowego. To jest podane przezy = y​₀ ​+ v​_0y​t – (1/2)gt​², gdzie teraz, bo piłka jest jeszcze w chwili, zanim zacznie spadać,v​_0y = 0.

Rozwiązywanie:

Zatem całkowity czas wynosi 4,59 + 4,59 = 9,18 sekundy. Być może zaskakujący wynik, że każda „odnoga” podróży, w górę iw dół, zajęła tyle samo czasu, podkreśla fakt, że grawitacja jest jedyną działającą tutaj siłą.

2. ​Równanie zasięgu:Gdy pocisk jest wystrzeliwany z prędkościąv₀i kąt θ od poziomu, ma początkowe składowe poziome i pionowe prędkościv_0x​ = ​v₀(cos θ) iv_0y​ = ​v₀(grzech θ).

Dlategov​_tak ​= v​_0y ​– g, iv​_tak = 0 gdy pocisk osiąga maksymalną wysokość, czas do osiągnięcia maksymalnej wysokości jest określony przez t =v_0y/g. Ze względu na symetrię czas potrzebny na powrót na ziemię (lub y = y₀) to po prostu 2t = 2v_0y​/​sol​.

Wreszcie, łącząc je z zależnością x =v_0xt, pozioma odległość przebyta przy kącie startu θ is

(Ostatni krok pochodzi z tożsamości trygonometrycznej 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)

Ponieważ sin2θ ma maksymalną wartość 1, gdy θ = 45 stopni, użycie tego kąta maksymalizuje odległość poziomą dla danej prędkości przy