Jeśli lubisz dziwactwa matematyczne, pokochasz trójkąt Pascala. Nazwany na cześć XVII-wiecznego francuskiego matematyka Blaise'a Pascala i znany Chińczykom na wiele wieków przed Pascalem jako trójkąt Yanghui, jest w rzeczywistości czymś więcej niż osobliwością. Jest to specyficzny układ liczb, który jest niezwykle przydatny w algebrze i teorii prawdopodobieństwa. Niektóre z jego cech są bardziej kłopotliwe i interesujące niż są użyteczne. Pomagają zilustrować tajemniczą harmonię świata opisaną za pomocą liczb i matematyki.
Zasada konstruowania trójkąta Pascala nie może być prostsza. Zacznij od numeru jeden na wierzchołku i utwórz drugi rząd poniżej z parą jedynek. Aby skonstruować trzeci i wszystkie kolejne rzędy, zacznij od umieszczenia jednego na początku i na końcu. Wyprowadź każdą cyfrę między tą parą jedynek, dodając dwie cyfry bezpośrednio nad nią. Trzeci rząd to 1, 2, 1, czwarty rząd to 1, 3, 3, 1, piąty rząd to 1, 4, 6, 4, 1 i tak dalej. Jeśli każda cyfra zajmuje pudełko tego samego rozmiaru, co wszystkie inne, układ tworzy idealną trójkąt równoboczny ograniczony z dwóch stron jedynkami, o podstawie równej długości liczby rzędu. Rzędy są symetryczne, ponieważ czytają to samo w przód iw tył.
Pascal odkrył trójkąt, który był znany od wieków filozofom perskim i chińskim, kiedy studiował rozwinięcie algebraiczne wyrażenia (x + y)nie. Kiedy rozwiniesz to wyrażenie do n-tej potęgi, współczynniki wyrazów w rozwinięciu odpowiadają liczbom w n-tym rzędzie trójkąta. Na przykład (x + y)0 = 1; (x + y)1 = x + y; (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 i tak dalej. Z tego powodu matematycy czasami nazywają układ trójkątem współczynników dwumianowych. Dla dużej liczby n, oczywiście łatwiej jest odczytać współczynniki rozszerzenia z trójkąta niż je obliczyć.
Załóżmy, że rzucasz monetą określoną liczbę razy. Ile kombinacji orzełków i reszek możesz uzyskać? Możesz się tego dowiedzieć, patrząc na wiersz w trójkącie Pascala, który odpowiada liczbie rzutów monetą i dodając wszystkie liczby w tym wierszu. Na przykład, jeśli rzucisz monetą 3 razy, istnieje 1 + 3 + 3 + 1 = 8 możliwości. Prawdopodobieństwo uzyskania tego samego wyniku trzy razy z rzędu wynosi zatem 1/8.
Podobnie możesz użyć trójkąta Pascala, aby dowiedzieć się, na ile sposobów możesz łączyć obiekty lub wybory z danego zestawu. Załóżmy, że masz 5 piłek i chcesz wiedzieć, na ile sposobów możesz wybrać dwie z nich. Po prostu przejdź do piątego rzędu i spójrz na drugi wpis, aby znaleźć odpowiedź, czyli 5.