„Sinus” jest skrótem matematycznym określającym stosunek dwóch boków trójkąta prostokątnego, wyrażony jako ułamek: Strona przeciwna dowolny kąt, który mierzysz, jest licznikiem ułamka, a przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego to mianownik. Gdy opanujesz tę koncepcję, staje się ona elementem składowym formuły znanej jako prawo sinusów, które można wykorzystać do znalezienia brakujące kąty i boki trójkąta, o ile znasz co najmniej dwa jego kąty i jeden bok lub dwa boki i jeden kąt.
Przypomnienie prawa sinusów
Z prawa sinusów wynika, że stosunek kąta w trójkącie do przeciwnej strony będzie taki sam dla wszystkich trzech kątów trójkąta. Lub, ujmując to inaczej:
grzech (A)/za = grzech (B)/b = grzech (C)/do, gdzie A, B i C są kątami trójkąta, a a, b i do to długości boków przeciwnych do tych kątów.
Ta forma jest najbardziej przydatna do wyszukiwania brakujących kątów. Jeśli używasz prawa sinusów do znalezienia brakującej długości boku trójkąta, możesz również zapisać to z sinusami w mianowniku:
za/sin (A) = b/sin (B) = do/sin(C)
Znajdowanie brakującego kąta za pomocą prawa sinusów
Wyobraź sobie, że masz trójkąt o jednym znanym kącie – powiedzmy, że kąt A mierzy 30 stopni. Znasz również miarę dwóch boków trójkąta: bok za, który jest przeciwny kąt A, mierzy 4 jednostki, a bok b mierzy 6 jednostek.
Uważaj na niejednoznaczny przypadek prawa sinusów, który może powstać, jeśli, jak w tym problemie, masz długość dwóch boków i kąt, który nie znajduje się między nimi. Ten niejednoznaczny przypadek jest po prostu ostrzeżeniem, że w tym konkretnym zestawie okoliczności mogą istnieć dwie możliwe odpowiedzi do wyboru. Znalazłeś już jedną możliwą odpowiedź. Aby przeanalizować inną możliwą odpowiedź, odejmij właśnie znaleziony kąt od 180 stopni. Dodaj wynik do pierwszego znanego kąta, jaki miałeś. Jeśli wynik jest mniejszy niż 180 stopni, ten „wynik”, który właśnie dodałeś do pierwszego znanego kąta, jest drugim możliwym rozwiązaniem.
Wprowadź wszystkie znane informacje do pierwszej postaci prawa sinusów, która jest najlepsza do znajdowania brakujących kątów:
grzech (30)/4 = grzech (B)/6 = grzech (C)/do
Następnie wybierz cel; w takim przypadku znajdź miarę kąta B.
Ustawienie problemu jest tak proste, jak ustawienie pierwszego i drugiego wyrażenia tego równania jako równych. Nie musisz się już martwić o trzeci semestr. Więc masz:
grzech (30)/4 = grzech (B)/6
Użyj kalkulatora lub wykresu, aby znaleźć sinus znanego kąta. W tym przypadku grzech (30) = 0,5, więc masz:
(0,5)/4 = grzech (B)/6, co upraszcza:
0,125 = grzech (B)/6
Pomnóż każdą stronę równania przez 6, aby wyizolować sinusoidalny pomiar nieznanego kąta. To daje:
0,75 = grzech (B)
Znajdź odwrotny sinus lub arcsinus nieznanego kąta za pomocą kalkulatora lub tabeli. W tym przypadku odwrotny sinus 0,75 wynosi około 48,6 stopnia.
Ostrzeżenia
Znalezienie strony z prawem sinusów
Wyobraź sobie, że masz trójkąt o znanych kątach 15 i 30 stopni (nazwijmy je odpowiednio A i B) oraz długości boku za, który jest przeciwny kąt A, ma 3 jednostki długości.
Jak wcześniej wspomniano, trzy kąty trójkąta zawsze sumują się do 180 stopni. Więc jeśli znasz już dwa kąty, możesz znaleźć miarę trzeciego kąta, odejmując znane kąty od 180:
180 - 15 - 30 = 135 stopni
Więc brakujący kąt to 135 stopni.
Wprowadź informacje, które już znasz, do wzoru na prawo sinusów, korzystając z drugiej formy (najłatwiejszej przy obliczaniu brakującej strony):
3/grzech (15) = b/grzech (30) = do/sin(135)
Wybierz brakującą stronę, której długość chcesz znaleźć. W takim przypadku dla wygody znajdź długość boku b.
Aby rozwiązać problem, wybierz dwie z relacji sinusów podanych w prawie sinusów: Ta zawierająca twój cel (strona b) i ten, o którym już znasz wszystkie informacje (to jest strona za i kąt A). Ustaw te dwie relacje sinusowe równe sobie:
3/grzech (15) = b/sin(30)
Teraz rozwiąż dla b. Zacznij od skorzystania z kalkulatora lub tabeli, aby znaleźć wartości sin (15) i sin (30) i wypełnić je do swojego równania (na potrzeby tego przykładu użyj ułamka 1/2 zamiast 0,5), co daje ty:
3/0.2588 = b/(1/2)
Zauważ, że nauczyciel powie Ci, jak daleko (i czy) zaokrąglić swoje wartości sinusoidalne. Mogą również poprosić Cię o użycie dokładnej wartości funkcji sinus, która w przypadku grzechu (15) jest bardzo nieporządna (√6 – √2)/4.
Następnie uprość obie strony równania, pamiętając, że dzielenie przez ułamek jest tym samym, co mnożenie przez jego odwrotność:
11,5920 = 2_b_
Zamień strony równania dla wygody, ponieważ zmienne są zwykle wymienione po lewej stronie:
2_b_ = 11,5920
I na koniec zakończ rozwiązywanie dla b. W tym przypadku wystarczy podzielić obie strony równania przez 2, co daje:
b = 5.7960
Tak więc brakujący bok twojego trójkąta ma długość 5,7960 jednostek. Możesz równie łatwo użyć tej samej procedury do rozwiązania dla strony do, ustalając jej wyrażenie w prawie sinusów równe wyrażeniu bocznemu za, ponieważ znasz już pełne informacje z tej strony.
