W warunkach rzeczywistych parabola to łuk, który tworzy piłka, gdy ją rzucisz, lub charakterystyczny kształt anteny satelitarnej. Z matematycznego punktu widzenia parabola o kształcie, który uzyskuje się, gdy przecinasz stały stożek pod kątem równoległym do jednego z jego boków, dlatego jest znany jako jeden z „sekcje stożkowe”. Najłatwiejszym sposobem znalezienia równania paraboli jest wykorzystanie wiedzy o specjalnym punkcie, zwanym wierzchołkiem, który znajduje się na paraboli samo.
Rozpoznawanie formuły paraboli
Jeśli widzisz równanie kwadratowe w dwóch zmiennych, w postaci,y = topór2 + bx + c, gdzie ≠ 0, to gratulacje! Znalazłeś parabolę. Równanie kwadratowe jest czasami znane również jako „forma standardowa” paraboli.
Ale jeśli zostanie wyświetlony wykres paraboli (lub mała informacja o paraboli w tekście lub „słowo problem”), będziesz chciał napisać swoją parabolę w tak zwanej formie wierzchołka, która wygląda tak to:
y = a (x - h)2 + k(jeśli parabola otwiera się pionowo)
x = a (y - k)2 + h(jeśli parabola otwiera się poziomo)
Jaki jest wierzchołek paraboli?
W obu wzorach współrzędne (h, k) reprezentują wierzchołek paraboli, czyli punkt, w którym oś symetrii paraboli przecina linię samej paraboli. Innymi słowy, gdybyś złożył parabolę na pół w środku, wierzchołek byłby „szczytem” paraboli dokładnie tam, gdzie przecinała zgięcie papieru.
Znalezienie równania paraboli
Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie równania paraboli, zostaniesz poinformowany o wierzchołku paraboli parabola i co najmniej jeden inny punkt na niej, w przeciwnym razie otrzymasz wystarczającą ilość informacji, aby je wymyślić na zewnątrz. Gdy masz te informacje, możesz znaleźć równanie paraboli w trzech krokach.
Zróbmy przykładowy problem, aby zobaczyć, jak to działa. Wyobraź sobie, że otrzymujesz parabolę w formie wykresu. Powiedziano ci, że wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (1,2), że otwiera się pionowo, a kolejny punkt na paraboli to (3,5). Jakie jest równanie paraboli?
Z tymi wszystkimi literami i cyframi unoszącymi się wokół, może być trudno określić, kiedy „zakończysz” znajdowanie formuły! Zgodnie z ogólną zasadą, kiedy pracujesz z problemami w dwóch wymiarach, kończysz, gdy masz tylko dwie zmienne. Te zmienne są zwykle zapisywane jakoxitak,zwłaszcza, gdy masz do czynienia z „standaryzowanymi” kształtami, takimi jak parabola.
Twoim priorytetem musi być decyzja, której formy równania wierzchołków użyjesz. Pamiętaj, że jeśli parabola otwiera się pionowo (co może oznaczać, że otwarta strona litery U jest skierowana w górę lub w dół), użyjesz tego równania:
y = a (x - h)2 + k
A jeśli parabola otwiera się poziomo (co może oznaczać, że otwarta strona litery U jest skierowana w prawo lub w lewo), użyjesz tego równania:
x = a (y - k)2 + h
Ponieważ przykładowa parabola otwiera się pionowo, użyjmy pierwszego równania.
Następnie zastąp współrzędne wierzchołka paraboli (h, k) wzorem wybranym w kroku 1. Ponieważ wiesz, że wierzchołek znajduje się w miejscu (1,2), podstawisz h = 1 i k = 2, co daje:
y = a (x - 1)2 + 2
Ostatnią rzeczą, którą musisz zrobić, to znaleźć wartośćza. W tym celu wybierz dowolny punkt (x, y) na paraboli, o ile ten punkt nie jest wierzchołkiem, i wstaw go do równania.
W tym przypadku otrzymałeś już współrzędne innego punktu na wierzchołku: (3,5). Więc podstawisz x = 3 i y = 5, co daje:
5 = a (3 - 1)2 + 2
Teraz wszystko, co musisz zrobić, to rozwiązać równanie dlaza. Niewielkie uproszczenie daje następujące informacje:
5 = a (2)2 + 2, który można jeszcze bardziej uprościć do:
5 = a (4) + 2, co z kolei staje się:
3 = a (4), i w końcu:
a = 3/4
Teraz, gdy znalazłeś wartośćza, wstaw go do swojego równania, aby zakończyć przykład:
y = (3/4)(x - 1)2 + 2jest równaniem paraboli o wierzchołku (1,2) i zawierającej punkt (3,5).