Wyobraź sobie, że stoisz na środku idealnie okrągłej areny. Patrzysz na tłumy po bokach areny i dostrzegasz swojego najlepszego przyjaciela na jednym miejscu, a swojego nauczyciela matematyki w gimnazjum kilka sekcji dalej. Jaka jest odległość między nimi a tobą? Jak daleko musiałbyś przejść, aby podróżować z miejsca kolegi do miejsca nauczyciela? Jakie są miary kątów między wami? To wszystko są pytania związane z kątami centralnymi.
ZA kąt centralny jest kątem, który tworzy się, gdy dwa promienie są rysowane od środka okręgu do jego krawędzi. W tym przykładzie te dwa promienie to dwie linie widzenia od ciebie, w centrum areny, do twojego przyjaciela, i twoja linia widzenia do nauczyciela. Kąt, który tworzy się między tymi dwiema liniami, jest kątem środkowym. Jest to kąt najbliższy środka okręgu.
Twój przyjaciel i nauczyciel siedzą wzdłuż obwód lub krawędzie koła. Ścieżka wzdłuż areny, która ich łączy, jest łuk.
Znajdź kąt centralny na podstawie długości i obwodu łuku
Istnieje kilka równań, których możesz użyć, aby znaleźć kąt środkowy. Czasami dostaniesz
(długość łuku) ÷ obwód = (kąt środkowy) ÷ 360°
Kąt środkowy będzie wyrażony w stopniach.
Ta formuła ma sens, jeśli się nad tym zastanowisz. Długość łuku z całkowitej długości wokół okręgu (obwód) jest taką samą proporcją jak kąt łuku w stosunku do całkowitego kąta w okręgu (360 stopni).
Aby efektywnie korzystać z tego równania, musisz znać obwód koła. Ale możesz również użyć tego wzoru, aby znaleźć długość łuku, jeśli znasz kąt środkowy i obwód. Lub, jeśli masz długość łuku i kąt środkowy, możesz znaleźć obwód!
Znajdź kąt centralny na podstawie długości łuku i promienia
Możesz także użyć promienia okręgu i długości łuku, aby znaleźć kąt środkowy. Nazwij miarę kąta środkowego θ. Następnie:
θ = s÷ r, gdzie s to długość łuku, a r to promień. θ jest mierzone w radianach.
Ponownie możesz zmienić to równanie w zależności od posiadanych informacji. Długość łuku można znaleźć na podstawie promienia i kąta środkowego. Lub możesz znaleźć promień, jeśli masz kąt środkowy i długość łuku.
Jeśli chcesz długość łuku, równanie wygląda tak:
s =* r, gdzie s to długość łuku, r to promień, a θ to kąt środkowy w radianach.
Twierdzenie o kącie centralnym
Dodajmy zwrot do twojego przykładu, gdy jesteś na arenie ze swoim sąsiadem i nauczycielem. Teraz na arenie jest trzecia osoba, którą znasz: twój sąsiad z sąsiedztwa. I jeszcze jedno: są za tobą. Musisz się odwrócić, żeby je zobaczyć.
Twój sąsiad jest mniej więcej po drugiej stronie areny od twojego przyjaciela i nauczyciela. Z punktu widzenia sąsiada istnieje kąt utworzony przez jego linię wzroku do przyjaciela i linię wzroku do nauczyciela. To się nazywa kąt wpisany. Na wpisany kąt jest kątem utworzonym przez trzy punkty na obwodzie okręgu.
Twierdzenie o kącie środkowym wyjaśnia związek między wielkością kąta centralnego, utworzonego przez ciebie, a kątem wpisanym, utworzonym przez twojego sąsiada. Twierdzenie o kącie centralnym stwierdza, że kąt środkowy jest dwukrotnie większy niż kąt wpisany. (Zakłada się, że używasz tych samych punktów końcowych. Oboje patrzycie na nauczyciela i przyjaciela, a nie na nikogo innego).
Oto inny sposób na napisanie tego. Nazwijmy miejsce twojego przyjaciela A, miejsce nauczyciela B i miejsce sąsiada C. Ty w centrum możesz być O.
Tak więc, dla trzech punktów A, B i C na obwodzie okręgu i punktu O w środku, kąt środkowy ∠AOC jest dwukrotnością kąta wpisanego ∠ABC.
To jest, ∠AOC = 2∠ABC.
To ma sens. Jesteś bliżej przyjaciela i nauczyciela, więc patrzą na ciebie dalej (większy kąt). Twojemu sąsiadowi po drugiej stronie stadionu patrzą na siebie znacznie bliżej (mniejszy kąt).
Wyjątek od twierdzenia o kącie centralnym
Teraz zmieńmy to wszystko w górę. Twój sąsiad po drugiej stronie areny zaczyna się poruszać! Wciąż mają linię wzroku dla przyjaciela i nauczyciela, ale linie i kąty zmieniają się, gdy sąsiad się porusza. Zgadnij co: Dopóki sąsiad pozostaje poza łukiem między przyjacielem a sąsiadem, twierdzenie o centralnym kącie nadal jest prawdziwe!
Ale co się dzieje, gdy sąsiad się rusza? pomiędzy przyjaciel i nauczyciel? Teraz twój sąsiad jest w środku mały łuk, stosunkowo niewielka odległość między przyjacielem a nauczycielem w porównaniu do większej odległości wokół reszty areny. Następnie dochodzisz do wyjątku od twierdzenia o kącie centralnym.
wyjątek od twierdzenia o kątach centralnych stwierdza, że gdy sąsiadujący punkt C znajduje się wewnątrz małego łuku, kąt wpisany jest dodatkiem do połowy kąta środkowego. (Pamiętaj, że kąt i jego suplement dodaj do 180 stopni.)
Więc: kąt wpisany = 180 - (kąt środkowy ÷ 2)
Lub: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Wyobrażać sobie
Math Open Reference ma narzędzie do wizualizacji twierdzenia o centralnym kącie i jego wyjątku. Możesz przeciągnąć "sąsiada" do różnych części okręgu i obserwować, jak zmieniają się kąty. Wypróbuj, jeśli chcesz poćwiczyć lub poćwiczyć!
