Jak znaleźć kąt centralny

Wyobraź sobie, że stoisz na środku idealnie okrągłej areny. Patrzysz na tłumy po bokach areny i dostrzegasz swojego najlepszego przyjaciela na jednym miejscu, a swojego nauczyciela matematyki w gimnazjum kilka sekcji dalej. Jaka jest odległość między nimi a tobą? Jak daleko musiałbyś przejść, aby podróżować z miejsca kolegi do miejsca nauczyciela? Jakie są miary kątów między wami? To wszystko są pytania związane z kątami centralnymi.

ZA kąt centralny jest kątem, który tworzy się, gdy dwa promienie są rysowane od środka okręgu do jego krawędzi. W tym przykładzie te dwa promienie to dwie linie widzenia od ciebie, w centrum areny, do twojego przyjaciela, i twoja linia widzenia do nauczyciela. Kąt, który tworzy się między tymi dwiema liniami, jest kątem środkowym. Jest to kąt najbliższy środka okręgu.

Twój przyjaciel i nauczyciel siedzą wzdłuż obwód lub krawędzie koła. Ścieżka wzdłuż areny, która ich łączy, jest łuk.

Znajdź kąt centralny na podstawie długości i obwodu łuku

Istnieje kilka równań, których możesz użyć, aby znaleźć kąt środkowy. Czasami dostaniesz

instagram story viewer
długość łuku, odległość wzdłuż obwodu między dwoma punktami. (W tym przykładzie jest to odległość, jaką musiałbyś przejść wokół areny, aby dostać się od przyjaciela do nauczyciela). Związek między kątem środkowym a długością łuku jest następujący:

(długość łuku) ÷ obwód = (kąt środkowy) ÷ 360°

Kąt środkowy będzie wyrażony w stopniach.

Ta formuła ma sens, jeśli się nad tym zastanowisz. Długość łuku z całkowitej długości wokół okręgu (obwód) jest taką samą proporcją jak kąt łuku w stosunku do całkowitego kąta w okręgu (360 stopni).

Aby efektywnie korzystać z tego równania, musisz znać obwód koła. Ale możesz również użyć tego wzoru, aby znaleźć długość łuku, jeśli znasz kąt środkowy i obwód. Lub, jeśli masz długość łuku i kąt środkowy, możesz znaleźć obwód!

Znajdź kąt centralny na podstawie długości łuku i promienia

Możesz także użyć promienia okręgu i długości łuku, aby znaleźć kąt środkowy. Nazwij miarę kąta środkowego θ. Następnie:

θ = s÷ r, gdzie s to długość łuku, a r to promień. θ jest mierzone w radianach.

Ponownie możesz zmienić to równanie w zależności od posiadanych informacji. Długość łuku można znaleźć na podstawie promienia i kąta środkowego. Lub możesz znaleźć promień, jeśli masz kąt środkowy i długość łuku.

Jeśli chcesz długość łuku, równanie wygląda tak:

s =* r, gdzie s to długość łuku, r to promień, a θ to kąt środkowy w radianach.

Twierdzenie o kącie centralnym

Dodajmy zwrot do twojego przykładu, gdy jesteś na arenie ze swoim sąsiadem i nauczycielem. Teraz na arenie jest trzecia osoba, którą znasz: twój sąsiad z sąsiedztwa. I jeszcze jedno: są za tobą. Musisz się odwrócić, żeby je zobaczyć.

Twój sąsiad jest mniej więcej po drugiej stronie areny od twojego przyjaciela i nauczyciela. Z punktu widzenia sąsiada istnieje kąt utworzony przez jego linię wzroku do przyjaciela i linię wzroku do nauczyciela. To się nazywa kąt wpisany. Na wpisany kąt jest kątem utworzonym przez trzy punkty na obwodzie okręgu.

Twierdzenie o kącie środkowym wyjaśnia związek między wielkością kąta centralnego, utworzonego przez ciebie, a kątem wpisanym, utworzonym przez twojego sąsiada. Twierdzenie o kącie centralnym stwierdza, że kąt środkowy jest dwukrotnie większy niż kąt wpisany. (Zakłada się, że używasz tych samych punktów końcowych. Oboje patrzycie na nauczyciela i przyjaciela, a nie na nikogo innego).

Oto inny sposób na napisanie tego. Nazwijmy miejsce twojego przyjaciela A, miejsce nauczyciela B i miejsce sąsiada C. Ty w centrum możesz być O.

Tak więc, dla trzech punktów A, B i C na obwodzie okręgu i punktu O w środku, kąt środkowy ∠AOC jest dwukrotnością kąta wpisanego ∠ABC.

To jest, ∠AOC = 2∠ABC.

To ma sens. Jesteś bliżej przyjaciela i nauczyciela, więc patrzą na ciebie dalej (większy kąt). Twojemu sąsiadowi po drugiej stronie stadionu patrzą na siebie znacznie bliżej (mniejszy kąt).

Wyjątek od twierdzenia o kącie centralnym

Teraz zmieńmy to wszystko w górę. Twój sąsiad po drugiej stronie areny zaczyna się poruszać! Wciąż mają linię wzroku dla przyjaciela i nauczyciela, ale linie i kąty zmieniają się, gdy sąsiad się porusza. Zgadnij co: Dopóki sąsiad pozostaje poza łukiem między przyjacielem a sąsiadem, twierdzenie o centralnym kącie nadal jest prawdziwe!

Ale co się dzieje, gdy sąsiad się rusza? pomiędzy przyjaciel i nauczyciel? Teraz twój sąsiad jest w środku mały łuk, stosunkowo niewielka odległość między przyjacielem a nauczycielem w porównaniu do większej odległości wokół reszty areny. Następnie dochodzisz do wyjątku od twierdzenia o kącie centralnym.

wyjątek od twierdzenia o kątach centralnych stwierdza, że ​​gdy sąsiadujący punkt C znajduje się wewnątrz małego łuku, kąt wpisany jest dodatkiem do połowy kąta środkowego. (Pamiętaj, że kąt i jego suplement dodaj do 180 stopni.)

Więc: kąt wpisany = 180 - (kąt środkowy ÷ 2)

Lub: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)

Wyobrażać sobie

Math Open Reference ma narzędzie do wizualizacji twierdzenia o centralnym kącie i jego wyjątku. Możesz przeciągnąć "sąsiada" do różnych części okręgu i obserwować, jak zmieniają się kąty. Wypróbuj, jeśli chcesz poćwiczyć lub poćwiczyć!

Teachs.ru
  • Dzielić
instagram viewer