Czasami „wykładniczy wzrost” to tylko przenośnia, odniesienie do wszystkiego, co rośnie nierozsądnie lub niewiarygodnie szybko. Ale w niektórych przypadkach ideę wzrostu wykładniczego można potraktować dosłownie. Na przykład populacja królików może rosnąć wykładniczo w miarę rozmnażania się każdego pokolenia, następnie rozmnaża się ich potomstwo i tak dalej. Dochody biznesowe lub osobiste również mogą rosnąć wykładniczo. Kiedy zostaniesz poproszony o wykonanie rzeczywistych obliczeń wzrostu wykładniczego, będziesz pracować z trzema rodzajami informacji: wartością początkową, tempem wzrostu (lub zaniku) i czasem.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Aby obliczyć wzrost wykładniczy, użyj wzoru tak(t) = a__ekt, gdzie za to wartość na początku, k to tempo wzrostu lub zaniku, t jest czas i tak(t) to wartość populacji w czasie t.
Wyobraź sobie, że naukowiec bada rozwój nowego gatunku bakterii. Chociaż mógł wprowadzić wartości początkowej ilości, tempa wzrostu i czasu do kalkulatora wzrostu populacji, postanowił ręcznie obliczyć tempo wzrostu populacji bakterii.
Patrząc wstecz na swoje skrupulatne zapisy, naukowiec zauważa, że jego początkowa populacja liczyła 50 bakterii. Pięć godzin później zmierzył 550 bakterii.
Wprowadzanie informacji naukowca do równania wykładniczego wzrostu lub rozpadu, tak(t) = a__ekt, ma:
550 = 50_ek_5
Jedyną niewiadomą pozostałą w równaniu jest klub tempo wzrostu wykładniczego.
Aby rozpocząć rozwiązywanie problemów k, najpierw podziel obie strony równania przez 50. To daje:
550/50 = (50_ek_5)/50, co upraszcza:
11 = mi_k_5
Następnie weź logarytm naturalny obu stron, który jest zapisany jako ln(x). To daje:
ln (11) = ln(mi_k_5)
Logarytm naturalny jest funkcją odwrotną mix, dzięki czemu skutecznie „cofa” mix funkcja po prawej stronie równania, pozostawiając:
ln (11) = _k_5
Następnie podziel obie strony przez 5, aby wyizolować zmienną, co daje:
k = ln (11)/5
Znasz teraz tempo wykładniczego wzrostu tej populacji bakterii: k = ln (11)/5. Jeśli zamierzasz przeprowadzić dalsze obliczenia z tą populacją – na przykład podłączając do równania tempo wzrostu i oszacowując wielkość populacji na t = 10 godzin – odpowiedź najlepiej zostawić w tej formie. Ale jeśli nie wykonujesz dalszych obliczeń, możesz wprowadzić tę wartość do kalkulatora funkcji wykładniczej – lub kalkulatora naukowego – aby uzyskać szacunkową wartość 0,479579. W zależności od dokładnych parametrów eksperymentu możesz zaokrąglić je do 0,48 godziny, aby ułatwić obliczenia lub zapis.
Wskazówki
Jeśli tempo wzrostu miałoby być mniejsze niż 1, oznacza to, że populacja się kurczy. Jest to znane jako tempo zaniku lub tempo zaniku wykładniczego.