Na odwrotne zależności w matematyce można spojrzeć na trzy sposoby. Pierwszym sposobem jest rozważenie operacji, które wzajemnie się znoszą. Dodawanie i odejmowanie to dwie najbardziej oczywiste operacje, które zachowują się w ten sposób.
Drugim sposobem przyjrzenia się relacjom odwrotnym jest rozważenie rodzaju krzywych, które tworzą podczas tworzenia wykresu relacji między dwiema zmiennymi. Jeśli zależność między zmiennymi jest bezpośrednia, zmienna zależna wzrasta, gdy zwiększasz zmienną niezależną, a wykres zakrzywia się w kierunku rosnących wartości obu zmiennych. Jeśli jednak zależność jest odwrotna, zmienna zależna maleje wraz ze wzrostem zmiennej niezależnej, a wykres zakrzywia się w kierunku mniejszych wartości zmiennej zależnej.
Pewne pary funkcji stanowią trzeci przykład relacji odwrotnych. Kiedy rysujesz funkcje, które są odwrotne względem siebie na osi x-y, krzywe pojawiają się jako lustrzane odbicia względem linii x = y.
Odwrotne operacje matematyczne
Dodawanie jest najbardziej podstawową operacją arytmetyczną i zawiera złego bliźniaka – odejmowanie – które może cofnąć to, co robi. Załóżmy, że zaczynasz od 5 i dodajesz 7. Dostajesz 12, ale jeśli odejmiesz 7, zostaniesz z 5, od której zacząłeś. Odwrotnością dodawania jest odejmowanie, a wynik netto dodawania i odejmowania tej samej liczby jest równoważny dodaniu 0.
Podobna odwrotna zależność istnieje między mnożeniem a dzieleniem. Wynik netto mnożenia i dzielenia liczby przez ten sam czynnik polega na pomnożeniu liczby przez 1, co pozostawia ją niezmienioną. Ta odwrotna zależność jest przydatna podczas upraszczania złożonych wyrażeń algebraicznych i rozwiązywania równań.
Kolejną parą odwrotnych operacji matematycznych jest podnoszenie liczby do wykładnika "nie" i biorącnieth pierwiastek liczby. Najłatwiej jest wziąć pod uwagę relację kwadratową. Jeśli podniesiesz 2 do kwadratu, otrzymasz 4, a jeśli wyjmiesz pierwiastek kwadratowy z 4, otrzymasz 2. Ta odwrotna zależność jest również przydatna podczas rozwiązywania złożonych równań.
Funkcje mogą być odwrotne lub bezpośrednie
Funkcja to reguła, która daje jeden i tylko jeden wynik dla każdej wprowadzonej liczby. Zbiór liczb, które wprowadzasz, nazywa się dziedziną funkcji, a zbiór wyników, które generuje funkcja, to zakres. Jeśli funkcja jest bezpośrednia, sekwencja domenowa liczb dodatnich, które stają się większe, daje ciąg liczb, które również stają się większe.
f (x) = 2x + 2, f (x) = x^2 \text{ i } f (x) = \sqrt{x}
wszystkie są bezpośrednimi funkcjami.
Inaczej zachowuje się funkcja odwrotna. Gdy liczby w domenie stają się większe, liczby w zakresie maleją.
f (x) = \frac{1}{x}
jest najprostszą formą funkcji odwrotnej. Gdy x staje się większe, f(x) zbliża się coraz bardziej do 0. Zasadniczo każda funkcja ze zmienną wejściową w mianowniku ułamka i tylko w mianowniku jest funkcją odwrotną. Inne przykłady obejmują
f (x) = \frac{n}{x}
gdzieniejest dowolna liczba,
f (x) = \frac{n}{\sqrt{x}}
i
f (x) = \frac{n}{x +w}
gdziewjest dowolną liczbą całkowitą.
Dwie funkcje mogą mieć odwrotny związek ze sobą
Trzecim przykładem odwrotnej zależności w matematyce jest para funkcji, które są względem siebie odwrotne. Jako przykład załóżmy, że wpisujesz liczby 2, 3, 4 i 5 do funkcji
y = 2x + 1
Otrzymujesz następujące punkty: (2,5), (3,7), (4,9) i (5,11). To jest linia prosta o nachyleniu 2 itak– przechwyć 1.
Teraz odwróć liczby w nawiasach, aby utworzyć nową funkcję: (5,2), (7,3), (9,4) i (11,5). Zakres pierwotnej funkcji staje się domeną nowej, a domeną pierwotnej funkcji zakresem nowej. To także linia, ale jej nachylenie wynosi 1/2 i jesttak-przecięcie to −1/2. Używając
y = mx + b
postaci prostej, znajdziesz równanie prostej
y = \frac{1}{2}(x - 1)
To jest odwrotność pierwotnej funkcji. Równie łatwo można go uzyskać, przełączając sięxitakw oryginalnej funkcji i uproszczeniu do uzyskaniataksam po lewej stronie znaku równości.