Kiedy po raz pierwszy zaczynasz uczyć się o funkcjach, być może będziesz musiał uznać je za maszynę: wprowadzasz wartość,x, do funkcji, a po przetworzeniu przez maszynę inną wartość – nazwijmy jątak– wyskakuje drugi koniec. Zakres możliwychxdane wejściowe, które mogą przejść przez maszynę, aby zwrócić prawidłowe dane wyjściowe, nazywane są domeną funkcji. Więc jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie dziedziny funkcji, naprawdę musisz dowiedzieć się, które możliwe dane wejściowe zwrócą prawidłowe dane wyjściowe.
Strategia znajdowania domeny
Jeśli dopiero uczysz się o funkcjach i dziedzinach, zwykle zakłada się, że dziedziną funkcji są „wszystkie liczby rzeczywiste”. Więc kiedy przystąpić do definiowania dziedziny, często najłatwiej jest wykorzystać swoją znajomość matematyki – zwłaszcza algebry – do określenia, która liczbynie sąpoprawni członkowie domeny. Kiedy więc widzisz instrukcje „znajdź domenę”, często najłatwiej jest je odczytać w głowie jako „znajdź i wyeliminuj liczby, któreżargonbyć w domenie”.
W większości przypadków sprowadza się to do sprawdzenia (i wyeliminowania) potencjalnych danych wejściowych, które mogłyby spowodować, że ułamki stałyby się niezdefiniowane, lub mieć 0 w mianowniku i szukać potencjalnych danych wejściowych, które dadzą Ci liczby ujemne pod pierwiastkiem kwadratowym znak.
Przykład znajdowania domeny
Rozważ funkcję
f (x) = \frac{3}{x - 2}
co tak naprawdę oznacza, że dowolna liczba, którą wprowadzisz, zostanie obrócona w miejscexpo prawej stronie równania. Na przykład, jeśli obliczyłeśfa(4) miałbyś
f (4) = \frac{3}{4 - 2}
co działa do 3/2.
Ale co, jeśli obliczyłeś?fa(2) lub innymi słowy, wprowadź 2 w miejscex? Wtedy będziesz miał
f (2) = \frac{3}{2 - 2}
co upraszcza do 3/0, co jest niezdefiniowanym ułamkiem.
To ilustruje jeden z dwóch typowych przypadków, które mogą wykluczyć liczbę z dziedziny funkcji. Jeśli w grę wchodzi ułamek, a dane wejściowe powodują, że mianownik tego ułamka wynosi zero, to dane wejściowe muszą być wykluczone z dziedziny funkcji.
Małe badanie pokaże ci, że absolutnie dowolna liczbaz wyjątkiem2 zwróci prawidłowy (choć czasami niechlujny) wynik dla danej funkcji, więc domeną tej funkcji są wszystkie liczby z wyjątkiem 2.
Kolejny przykład znajdowania domeny
Jest jeszcze jeden powszechny przykład, który wyklucza możliwych członków domeny funkcji: ujemna liczba pod pierwiastkiem kwadratowym lub dowolny pierwiastek z indeksem parzystym. Rozważ przykładową funkcję
f (x) = \sqrt{5 - x}
Gdybyx≤ 5, wtedy ilość pod znakiem radykalnym będzie wynosić 0 lub dodatnia i zwróci prawidłowy wynik. Na przykład, jeślix= 4,5 byś miał
f (4,5) = \sqrt{5 - 4,5} = \sqrt{0,5}
który, choć niechlujny, nadal zwraca prawidłowy wynik. I jeślix= −10 miałbyś
f(-10) = \sqrt{5 - (-10)} = \sqrt{5 + 10} = \sqrt{15}
który ponownie zwraca poprawny, jeśli niechlujny wynik.
Ale wyobraź sobie, żex= 5,1. W momencie, gdy przejdziesz na palcach przez linię podziału między 5 a dowolnymi liczbami większymi od niej, pod radykałem pojawi się liczba ujemna:
f (5,1) = \sqrt{5 - 5,1} = \sqrt{-0,1}
Znacznie później w swojej karierze matematycznej nauczysz się rozumieć ujemne pierwiastki kwadratowe za pomocą pojęcia zwanych liczbami urojonymi lub liczbami zespolonymi. Ale na razie liczba ujemna pod radykalnym znakiem wyklucza, że dane wejściowe są prawidłowym członkiem domeny funkcji.
Tak więc w tym przypadku, ponieważ dowolna liczbax≤ 5 zwraca poprawny wynik dla tej funkcji i dowolnej liczbyx> 5 zwraca błędny wynik, domeną funkcji są same liczbyx ≤ 5.