Jeśli istnieje jeden przedmiot matematyczny, który prawie każdy uczeń napotyka na wyzwanie, gdy po raz pierwszy się z nim spotyka, to jest nim algebra, w szczególności rozkładanie trójmianów na czynniki. Istnieje kilka metod rozkładania trójmianów na czynniki i żadna z nich nie jest tym, co ktokolwiek nazwałby „łatwą”. Jednak każdy może być zrozumiany dzięki konsekwentnym studiom i praktyce.
Co to jest trójmian?
Po pierwsze, musisz wiedzieć, czym jest wielomian. Wielomian to równanie algebraiczne zawierające terminy, kombinacje liczb i zmiennych, takich jak 3x i 5y. Niektóre przykłady wielomianów to 2x + 3, 3xy - 4y i 3x + 4xy - 5y. Ten ostatni przykład nazywa się trójmianem. Trójmian to wielomian z trzema wyrazami.
Największy wspólny dzielnik
Pierwsza i prawdopodobnie „najłatwiejsza” metoda rozkładania trójmianów na czynniki polega na znalezieniu największego wspólnego czynnika – największej liczby, zmiennej lub terminu, które te trzy wyrazy mają wspólnego. Na przykład w przypadku trójmianu 2x^2 + 6x + 4 liczba 2 jest jedyną liczbą wspólną dla wszystkich trzech terminów, więc po odliczeniu 2 otrzymujemy 2(x^2 + 3x + 2). Trójmian wewnątrz nawiasów może być w rzeczywistości uwzględniony dalej.
Rozkładanie trójmianów kwadratowych na czynniki
Trójmian x^2 + 3x + 2 jest trójmianem kwadratowym, ponieważ ma wyraz o potędze dwójki. Aby podzielić ten wielomian, musisz znać pewne zasady dotyczące kwadratów. Po pierwsze, czynnikami trójmianów kwadratowych są zwykle dwa dwumiany, takie jak x + 2 lub 2y - 3. Po drugie, pierwszy wyraz trójmianu kwadratowego jest iloczynem pierwszych wyrazów dwóch dwumianów. Po trzecie, ostatni wyraz trójmianu kwadratowego jest iloczynem ostatnich wyrazów dwóch dwumianów. Po czwarte, współczynnik środkowego wyrazu trójmianu kwadratowego jest sumą ostatnich wyrazów dwóch dwumianów. Po piąte, jeśli wszystkie znaki w trójmianie kwadratowym są dodatnie, wszystkie znaki w obu dwumianach są dodatnie.
Przykład faktoringu
Aby rozłożyć na czynniki kwadratowy trójmian x^2 + 3x + 2, zacznij od dwóch zestawów nawiasów, ( )( ). Wykonaj drugi krok, wpisując x w obu nawiasach, (x )(x ). Zmienna x^2 równa się x pomnożonemu przez x, spełniając pierwszą regułę. Trzeci krok stwierdza, że ostatni wyraz trójmianu jest iloczynem ostatnich wyrazów obu dwumianów, więc ostatni musi wynosić 1 i 2 lub -1 i -2 -- oba są równe 2. Czwarty krok określa, że współczynnik środkowego wyrazu jest sumą ostatnich wyrazów dwóch dwumianów. Tylko 1 i 2 równa się 3, więc rozwiązaniem jest (x + 1)(x + 2). Spełniona jest również piąta zasada.
Przypadki specjalne i inne informacje
Czasami może być konieczne przepisanie trójmianu, aby ułatwić faktoring. Trójmian 3x + 2y + 3xy jest łatwiejszy do rozwiązania w bardziej logicznej kolejności 3x + 3xy + 2y, ze wszystkimi podobnymi wyrazami razem. Zmiana kolejności trójmianów może być stosowana tylko wtedy, gdy wszystkie znaki trójmianu są dodatnie. Ponadto niektórych trójmianów nie można rozłożyć na czynniki, takich jak x^2 + 4x +2. Nie ma możliwości dalszego rozbicia tego trójmianu.