Rozwiązywanie funkcji wielomianowych jest kluczową umiejętnością dla każdego, kto studiuje matematykę lub fizykę, ale opanowanie tego procesu – zwłaszcza jeśli chodzi o funkcje wyższego rzędu – może być dość trudne. Funkcja sześcienna jest jednym z najtrudniejszych rodzajów równań wielomianowych, które być może będziesz musiał rozwiązać ręcznie. Chociaż może to nie być tak proste, jak rozwiązywanie równania kwadratowego, istnieje kilka metod możesz użyć, aby znaleźć rozwiązanie równania sześciennego bez uciekania się do stron i stron szczegółowych algebra.
Co to jest funkcja sześcienna?
Funkcja sześcienna jest wielomianem trzeciego stopnia. Ogólna funkcja wielomianowa ma postać:
f (x) = ax^n +bx^{n-1} + cx^{n-2}... vx^3+wx^2+zx+k
Tutaj, x jest zmienną, nie jest po prostu dowolną liczbą (i stopniem wielomianu), k jest stałą, a pozostałe litery są stałymi współczynnikami dla każdej potęgi x. Więc funkcja sześcienna ma nie = 3 i jest po prostu:
f (x) = ax^3 +bx^2 + cx^1+d
Gdzie w tym przypadku
ax^3 +bx^2 + cx^1+d = 0
Każde rozwiązanie dla x nazywa się „korzeniem” równania. Równania sześcienne mają albo jeden pierwiastek rzeczywisty, albo trzy, chociaż mogą się powtarzać, ale zawsze istnieje co najmniej jedno rozwiązanie.
Typ równania jest określony przez najwyższą potęgę, więc w powyższym przykładzie nie byłoby równaniem sześciennym, gdyby a = 0, ponieważ najwyższą potęgą będzie bx2 i byłoby to równanie kwadratowe. Oznacza to, że następujące są wszystkie równania sześcienne:
2x^3 + 3x^2 + 6x −9 = 0 \\ x^3 −9x + 1 = 0\\ x^3 −15x^2 = 0
Rozwiązywanie za pomocą twierdzenia czynnikowego i dzielenia syntetycznego
Najłatwiejszy sposób rozwiązania równania sześciennego wymaga odrobiny domysłów i algorytmicznego typu procesu zwanego dzieleniem syntetycznym. Początek jest jednak w zasadzie taki sam jak metoda prób i błędów dla rozwiązań równań sześciennych. Spróbuj odgadnąć, jaki jest jeden z korzeni, zgadując. Jeśli masz równanie, w którym pierwszy współczynnik, za, równa się 1, to trochę łatwiej jest odgadnąć jeden z pierwiastków, ponieważ są one zawsze czynnikami wyrazu stałego, który jest reprezentowany powyżej przez re.
Spójrzmy więc na następujące równanie, na przykład:
x^3 − 5x^2 − 2x + 24 = 0
Musisz odgadnąć jedną z wartości dla x, lecz odkąd za = 1 w tym przypadku wiesz, że bez względu na wartość, musi to być czynnik 24. Pierwszy taki czynnik to 1, ale to pozostawiłoby:
1 – 5 – 2 + 24 = 18
Co nie jest zerem, a -1 pozostawiłoby:
−1 – 5 + 2 + 24 = 20
Co znowu nie jest zerem. Kolejny, x = 2 dałoby:
8 – 20 – 4 + 24 = 8
Kolejna porażka. Próbować x = -2 daje:
−8 – 20 + 4 + 24 = 0
To znaczy x = -2 jest pierwiastkiem równania sześciennego. To pokazuje zalety i wady metody prób i błędów: Możesz uzyskać odpowiedź bez większego wysiłku myśl, ale jest to czasochłonne (zwłaszcza jeśli musisz przejść do wyższych czynników przed znalezieniem korzenia). Na szczęście, gdy znajdziesz jeden pierwiastek, możesz łatwo rozwiązać resztę równania.
Kluczem jest włączenie twierdzenia czynnikowego. Oznacza to, że jeśli x = s jest rozwiązaniem, wtedy (x – s) jest czynnikiem, który można wyciągnąć z równania. W tej sytuacji s = -2 i tak (x + 2) to czynnik, który możemy wyciągnąć do wyjazdu:
(x + 2) (x^2 + ax + b) = 0
Wyrażenia z drugiej grupy nawiasów mają postać równania kwadratowego, więc jeśli znajdziesz odpowiednie wartości dla za i brównanie można rozwiązać.
Można to osiągnąć za pomocą podziału syntetycznego. Najpierw zapisz współczynniki pierwotnego równania w górnym wierszu tabeli, z linią podziału, a następnie znanym pierwiastkiem po prawej stronie:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array}
Zostaw jeden zapasowy rząd, a następnie dodaj pod nim poziomą linię. Najpierw przenieś pierwszą liczbę (w tym przypadku 1) do rzędu poniżej linii poziomej
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & \\ \hline 1 & & & & & \end{array }
Teraz pomnóż liczbę, którą właśnie sprowadziłeś, przez znany pierwiastek. W tym przypadku 1 × -2 = -2 jest to zapisane poniżej następnej liczby na liście, w następujący sposób:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & & & & \end {szyk}
Następnie dodaj liczby w drugiej kolumnie i umieść wynik poniżej poziomej linii:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & -7 & & & \end{tablica}
Teraz powtórz proces, który właśnie przeszedłeś, z nową liczbą poniżej poziomej linii: Pomnóż przez by root, umieść odpowiedź w pustym miejscu w następnej kolumnie, a następnie dodaj kolumnę, aby uzyskać nową liczbę na Dolny rząd. To pozostawia:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & & \\ \hline 1 & -7 & 12 & & \end{tablica}
A następnie przejdź przez ten proces po raz ostatni.
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \hline 1 & -7 & 12 & 0 & \end{tablica}
Fakt, że ostatnia odpowiedź to zero, mówi ci, że masz poprawny korzeń, więc jeśli to nie jest zero, to gdzieś popełniłeś błąd.
Teraz dolny wiersz zawiera współczynniki trzech wyrazów w drugim zestawie nawiasów, więc możesz napisać:
(x^2 − 7x + 12) = 0
A więc:
(x+2)(x^2 − 7x + 12) = 0
To najważniejszy etap rozwiązania i od tego momentu możesz zakończyć na wiele sposobów.
Rozkładanie wielomianów sześciennych na czynniki
Po usunięciu czynnika możesz znaleźć rozwiązanie za pomocą faktoryzacji. Z powyższego kroku jest to w zasadzie ten sam problem, co rozkładanie równania kwadratowego na czynniki, co w niektórych przypadkach może być trudne. Jednak dla wyrażenia:
(x^2 − 7x + 12)
Jeśli pamiętasz, że dwie liczby, które umieściłeś w nawiasach, trzeba dodać, aby otrzymać drugi współczynnik (7) i pomnożyć, aby otrzymać trzeci (12), dość łatwo zauważyć, że w tym przypadku:
(x^2 − 7x + 12) = (x – 3) (x – 4)
Możesz to pomnożyć, aby sprawdzić, jeśli chcesz. Nie zniechęcaj się, jeśli nie możesz od razu zobaczyć faktoryzacji; wymaga to trochę praktyki. Pozostawia to oryginalne równanie jako:
(x + 2) (x – 3) (x – 4) = 0
Które od razu widać, ma rozwiązania na x = -2, 3 i 4 (z których wszystkie są czynnikami 24, czyli oryginalna stała). Teoretycznie możliwe jest również zobaczenie całego rozkładu na czynniki, zaczynając od pierwotnej wersji równania, ale to dużo trudniejsze, więc lepiej jest znaleźć jedno rozwiązanie metodą prób i błędów i zastosować powyższe podejście, zanim spróbujesz znaleźć a faktoryzacja.
Jeśli masz problem z faktoryzacją, możesz użyć wzoru na równanie kwadratowe:
x={-b\pm\sqrt{b^2 – 4ac}\above{1pt}2a}
Aby znaleźć pozostałe rozwiązania.
Korzystanie z wzoru sześciennego
Chociaż jest to znacznie większe i mniej proste w obsłudze, istnieje proste narzędzie do rozwiązywania równań sześciennych w postaci wzoru sześciennego. To jest jak równanie kwadratowe, w którym po prostu wpisujesz wartości za, b, do i re znaleźć rozwiązanie, ale trwa to znacznie dłużej.
Twierdzi, że:
x = (q + [q^2 + (r−p^2)^3]^{1/2})^{1/3} + (q − [q^2 + (r−p^2)^ 3]^{1/2})^{1/3} + p
gdzie
p = {−b \above{1pt}3a}
q = p^3 + {bc−3ad \above{1pt}6a^2}
i
r = {c \powyżej{1pkt}3a}
Korzystanie z tego wzoru jest czasochłonne, ale jeśli nie chcesz używać metody prób i błędów do rozwiązywania równań sześciennych, a następnie wzoru kwadratowego, to zadziała, gdy przejdziesz przez to wszystko.