Obrotowa energia kinetycznaopisuje energię ruchu wynikającą z obrotu lub ruchu kołowego obiektu. Odwołaj toliniowa energia kinetycznamasymporuszanie się z prędkościąvjest podane przez 1/2mv2. Jest to proste obliczenie dla dowolnego obiektu poruszającego się po linii prostej. Odnosi się do środka masy obiektu, umożliwiając przybliżenie obiektu jako masy punktowej.
Teraz, jeśli chcemy opisać energię kinetyczną rozciągniętego obiektu przechodzącego bardziej złożony ruch, obliczenia stają się trudniejsze.
Możemy dokonać kolejnych przybliżeń, dzieląc rozszerzony obiekt na małe kawałki, z których każdy może być przybliżony jako a masy punktowej, a następnie oblicz liniową energię kinetyczną dla każdego punktu masy oddzielnie i dodaj je wszystkie, aby znaleźć sumę dla obiekt. Im mniejszy obiekt rozbijemy, tym lepsze przybliżenie. W granicy, w której kawałki stają się nieskończenie małe, można to zrobić za pomocą rachunku różniczkowego.
Ale mamy szczęście! Jeśli chodzi o ruch obrotowy, istnieje uproszczenie. Dla obracającego się obiektu, jeśli opiszemy jego rozkład masy wokół osi obrotu w postaci jego momentu bezwładności,
ja, jesteśmy wtedy w stanie wykorzystać proste równanie energii kinetycznej ruchu obrotowego, omówione w dalszej części tego artykułu.Moment bezwładności
Moment bezwładnościjest miarą tego, jak trudno jest spowodować zmianę ruchu obrotowego obiektu wokół określonej osi. Moment bezwładności wirującego obiektu zależy nie tylko od masy obiektu, ale także od tego, jak ta masa jest rozłożona wokół osi obrotu. Im dalej od osi rozłożona jest masa, tym trudniej jest zmienić jej ruch obrotowy, a co za tym idzie, większy moment bezwładności.
Jednostki SI dla momentu bezwładności to kgm2 (co jest zgodne z naszym poglądem, że zależy to od masy i odległości od osi obrotu). Momenty bezwładności dla różnych obiektów można znaleźć w tabeli lub w rachunku różniczkowym.
Wskazówki
Moment bezwładności dowolnego obiektu można znaleźć za pomocą rachunku różniczkowego i wzoru na moment bezwładności masy punktowej.
Równanie rotacyjnej energii kinetycznej
Wzór na obrotową energię kinetyczną wyraża się wzorem:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2
Gdziejajest momentem bezwładności obiektu iωto prędkość kątowa obiektu w radianach na sekundę (rad/s). Jednostką SI dla obrotowej energii kinetycznej jest dżul (J).
Forma wzoru na energię kinetyczną ruchu obrotowego jest analogiczna do równania translacyjnej energii kinetycznej; moment bezwładności pełni rolę masy, a prędkość kątowa zastępuje prędkość liniową. Zauważ, że równanie energii kinetycznej ruchu obrotowego daje ten sam wynik dla masy punktowej, co równanie liniowe.
Jeśli wyobrazimy sobie masę punktowąmporuszanie się po okręgu o promieniurz prędkościąv, to jego prędkość kątowa wynosi ω = v/r, a moment bezwładności mr2. Oba równania energii kinetycznej dają taki sam wynik, jak oczekiwano:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2=\frac{1}{2}\frac {m\cancel{r^2}v^2}{\cancel{r^2}} = \frac{1}{2}mv^2 = KE_{lin}
Jeśli obiekt jednocześnie się obraca, a jego środek masy porusza się po linii prostej (jak dzieje się na przykład w przypadku toczącej się opony), wtedycałkowita energia kinetycznajest sumą energii kinetycznej ruchu obrotowego i translacyjnych energii kinetycznych:
KE_{tot} = KE_{rot}+KE_{lin} = \frac{1}{2}I\omega^2+\frac{1}{2}mv^2
Przykłady z wykorzystaniem wzoru na rotacyjną energię kinetyczną
Wzór na obrotową energię kinetyczną ma wiele zastosowań. Może być użyty do obliczenia prostej energii kinetycznej wirującego obiektu, do obliczenia energii kinetycznej obiekt toczący się (obiekt przechodzący zarówno ruch obrotowy, jak i translacyjny) i rozwiązać inne niewiadome. Rozważ następujące trzy przykłady:
Przykład 1:Ziemia obraca się wokół własnej osi mniej więcej raz na 24 godziny. Jeśli założymy, że ma jednolitą gęstość, jaka jest jego energia kinetyczna ruchu obrotowego? (Promień Ziemi wynosi 6,37 × 106 m, a jego masa wynosi 5,97 × 1024 kg.)
Aby znaleźć obrotową energię kinetyczną, najpierw musimy znaleźć moment bezwładności. Przybliżając Ziemię jako bryłę kuli, otrzymujemy:
I = \frac{2}{5}mr^2 = \frac{2}{5}(5.97\times10^{24}\text{kg})(6.37\times10^6\text{m})^2 = 9,69\times10^{37}\text{kgm}^2
Prędkość kątowa wynosi 2π radianów/dzień. Przekształcenie tego na rad/s daje:
2\pi\frac{\text{radiany}}{\cancel{\text{dzień}}}\frac{1\cancel{\text{dzień}}}{86400\text{ sekund}} = 7,27\times10^ {-5} \text{ rad/s}
Zatem rotacyjna energia kinetyczna Ziemi wynosi wtedy:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(9.69\times10^{37}\text{kgm}^2)(7.27\times10^{- 5}\text{ rad/s})^2 = 2,56\razy 10^{29}\text{ J}
Ciekawostka: to ponad 10 razy więcej energii, jaką słońce wypuszcza w ciągu minuty!
Przykład 2:Jednolity cylinder o masie 0,75 kg i promieniu 0,1 m toczy się po podłodze ze stałą prędkością 4 m/s. Jaka jest jego energia kinetyczna?
Całkowita energia kinetyczna jest dana wzorem:
KE_{tot} = \frac{1}{2}I\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2
W tym przypadku I = 1/2 mr2 jest momentem bezwładności dla pełnego cylindra, orazωjest powiązany z prędkością liniową poprzez ω = v/r.
Uproszczenie wyrażenia na całkowitą energię kinetyczną i wprowadzenie wartości daje:
KE_{tot} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(v/r)^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1 }{4}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2\\ = \frac{3}{4}(0,75\text{ kg}) (4\text{ m/s}) = 2,25\text{ J}
Pamiętaj, że nie musieliśmy nawet używać promienia! Znosiło to ze względu na bezpośredni związek między prędkością obrotową a prędkością liniową.
Przykład 3:Student na rowerze zjeżdża ze wzgórza z odpoczynku. Jeśli pionowa wysokość skoczni wynosi 30 m, jak szybko uczeń porusza się na dole skoczni? Załóżmy, że rower waży 8 kg, rowerzysta waży 50 kg, każde koło waży 2,2 kg (wliczając wagę roweru), a każde koło ma średnicę 0,7 m. Przybliż koła jako obręcze i załóż, że tarcie jest znikome.
Tutaj możemy użyć mechanicznego zachowania energii, aby znaleźć końcową prędkość. Energia potencjalna na szczycie wzgórza zamienia się w energię kinetyczną na dole. Ta energia kinetyczna jest sumą translacyjnej energii kinetycznej całego systemu człowiek + rower oraz obrotowych energii kinetycznych opon.
Całkowita energia systemu:
E_{tot} = PE_{góra} = mgh = (50\text{kg} + 8\text{kg})(9.8\text{m/s}^2)(30\text{m}) = 17,052\ tekst { J}
Wzór na energię całkowitą w postaci energii kinetycznej na dole wzgórza to:
E_{tot} = KE_{na dole} = \frac{1}{2}I_{opony}\omega^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = \frac{1} {2}(2\times m_{opona} \times r_{opona}^2)(v/r_{opona})^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = m_{opona}v^2 + \frac{1}{ 2}m_{tot}v^2\\ = (m_{opona} + \frac{1}{2}m_{tot})v^2
Rozwiązywanie dlavdaje:
v = \sqrt{\frac{E_{całkowita}}{m_{opona} + \frac{1}{2}m_{całkowita}}}
Na koniec podłączając liczby otrzymujemy odpowiedź:
v = \sqrt{\frac{17,052\text{ J}}{2,2\text{ kg} + \frac{1}{2}58\text{ kg}}} = 23,4 \text{ m/s}