Iloczyn dwóch wielkości skalarnych jest skalarem, a iloczyn skalara z wektorem jest wektorem, ale co z iloczynem dwóch wektorów? Skalar czy inny wektor? Odpowiedź brzmi, może być albo!
Istnieją dwa sposoby na pomnożenie wektorów przez siebie. Jednym z nich jest wzięcie ich iloczynu skalarnego, który daje skalar, a drugim jest wzięcie ich iloczynu krzyżowego, który daje inny wektor. Wybór produktu zależy od konkretnego scenariusza i ilości, którą próbujesz znaleźć.
produkt kropkowyjest czasami określany jakoiloczyn skalarnylubprodukt wewnętrzny. Geometrycznie można myśleć o iloczynie skalarnym między dwoma wektorami jako o sposobie mnożenia wartości wektora, który uwzględnia tylko wkłady w tym samym kierunku.
- Uwaga: Iloczyny kropkowe mogą być ujemne lub dodatnie, ale ten znak nie wskazuje kierunku. Chociaż w jednym wymiarze kierunek wektora jest często wskazywany znakiem, wielkości skalarne mogą również mieć przypisane znaki, które nie są kierunkowskazami. Dług to tylko jeden z wielu przykładów.
Definicja iloczynu kropkowego
Iloczyn skalarny wektorówza = (ax, atak)ib = (bx, btak)w standardowym kartezjańskim układzie współrzędnych definiuje się następująco:
\bold{a\cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Kiedy weźmiesz iloczyn skalarny wektora z samym sobą, wyłania się interesująca zależność:
\bold{a\cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = |\bold{a}|^2
Gdzie |za| to wielkość (długość)zaprzez twierdzenie Pitagorasa.
Inny wzór iloczynu skalarnego można wyprowadzić z prawa cosinusów. Odbywa się to w następujący sposób:
Rozważ wektory niezerowezaibwraz z ich wektorem różnicowyma - b. Ułóż trzy wektory, aby utworzyć trójkąt.
Prawo cosinusów z trygonometrii mówi nam, że:
|\bold{ab}|^2 = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta )
A korzystając z definicji iloczynu skalarnego otrzymujemy:
|\bold{ab}|^2 = (\bold{ab})\cdot (\bold{ab}) = (a_x-b_X)^2 + (a_y-b_y)^2\\ = (a_x)^2 + (b_x)^2 - 2a_xb_x + (a_y)^2 + (b_y)^2 - 2a_yb_y\\ = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2\bold{a \cdot b}
Ustawiając oba wyrażenia równe, a następnie upraszczając, otrzymujemy:
\cancel{|\bold{a}|^2} + \cancel{|\bold{b}|^2} - 2\bold{a \cdot b} = \cancel{|\bold{a}|^2 } + \anuluj{|\bold{b}|^2} - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\text{ }\\\implikuje \boxed{\bold{a \cdot b} = |\bold{a} ||\bold{b}|\cos(\theta)}
Ta formuła pozwala na wykorzystanie naszej geometrycznej intuicji. Ilość |za|cos (θ) jest wielkością rzutu wektorazana wektorb.
Możemy więc myśleć o iloczynie skalarnym jako o rzucie jednego wektora na drugi, a następnie iloczynu ich wartości. Innymi słowy, można go postrzegać jako iloczyn jednego wektora z ilością drugiego wektora w tym samym kierunku, co on sam.
Właściwości produktu kropkowego
Oto kilka właściwości iloczynu skalarnego, które mogą okazać się przydatne:
\#\text{1. Jeżeli } \theta = 0\text{, to } \bold{a \cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|
Dzieje się tak, ponieważ cos (0) = 1.
\#\text{2. Jeśli } \theta = 180\text{, to }\bold{a \cdot b} = -|\bold{a}||\bold{b}|
Dzieje się tak, ponieważ cos (180) = -1.
\#\text{3. Jeśli } \theta = 90\text{, to } \bold{a \cdot b} = 0
Dzieje się tak, ponieważ cos (90) = 0.
- Uwaga: dla 0 <
θ
< 90 iloczyn skalarny będzie dodatni, a dla 90 <
θ
< 180, iloczyn skalarny będzie ujemny.
\#\text{4. } \bold{a\cdot b} = \bold{b\cdot a}
Wynika to z zastosowania prawa przemiennego do definicji iloczynu skalarnego.
\#\text{5. } \bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a\cdot b} + \bold{a\cdot c}
Dowód:
\bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a}\cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ =a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y)\\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y)\\ = \bold{a\cdot b} + \bold{a\cdot c}
\#\text{6. } c(\bold{a\cdot b}) = (c\bold{a})\cdot \bold{b}
Dowód:
c(\bold{a\cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y)\\ = ca_xb_x + ca_yb_y\\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y\\ = (c\bold{a})\cdot \ pogrubienie {b}
Jak znaleźć produkt dot?
Przykład 1:W fizyce praca wykonywana przez siłęfana przedmiocie, który ulega przemieszczeniure, definiuje się jako:
W=\bold{F}\cdot \bold{d} = |\bold{F}||\bold{d}|\cos(\theta)
Gdzie θ jest kątem między wektorem siły a wektorem przemieszczenia.
Ilość pracy wykonanej przez siłę wskazuje, w jakim stopniu ta siła przyczyniła się do przemieszczenia. Jeżeli siła jest w tym samym kierunku co przemieszczenie (cos (θ) = 0), to ma swój maksymalny udział. Jeśli jest prostopadła do przemieszczenia (cos(Ѳ) = 90), nie wnosi żadnego wkładu. A jeśli jest przeciwny do przemieszczenia (cos (θ) = 180), to wnosi ujemny wkład.
Załóżmy, że dziecko pcha pociąg-zabawkę po torze, przykładając siłę 5 N pod kątem 25 stopni w stosunku do linii toru. Ile pracy wykonuje dziecko w pociągu, gdy przesunie go o 0,5 m?
Rozwiązanie:
F = 5 \text{ N}\\ d = 0.5\text{ m}\\ \theta = 25\stopień\\
Korzystając z definicji pracy iloczynu skalarnego i wstawiając wartości otrzymujemy:
W = Fd\cos(\theta) = 5\times0.5\times\cos (25) = \boxed{2.27\text{ J}}
Z tego konkretnego przykładu powinno być jeszcze jaśniejsze, że przykładanie siły prostopadłej do kierunku przemieszczenia nie działa. Jeśli dziecko pchnie pociąg pod kątem prostym do toru, pociąg nie będzie się poruszał ani do przodu, ani do tyłu po torze. Intuicyjne jest również to, że praca wykonywana przez dziecko w pociągu będzie się zwiększać wraz ze spadkiem kąta, a siła i przemieszczenie są bliższe wyrównaniu.
Przykład 2:Moc to kolejny przykład wielkości fizycznej, którą można obliczyć za pomocą iloczynu skalarnego. W fizyce moc równa się pracy podzielonej przez czas, ale można ją również zapisać jako iloczyn skalarny siły i prędkości, jak pokazano:
P = \frac{W}{t} = \frac{\bold{F\cdot d}}{t} = \bold{F}\cdot \frac{\bold{d}}{t} = \bold{ F\cdot v}
Gdzievto prędkość.
Rozważ poprzedni przykład dziecka bawiącego się pociągiem. Jeśli zamiast tego powiedzą nam, że przyłożona jest ta sama siła, która powoduje, że pociąg porusza się z prędkością 2 m/s w dół toru, możemy użyć iloczynu skalarnego, aby znaleźć moc:
P = \bold{F\cdot v} = Fv\cos(\theta) = 5\times2\times\cos (25) = 9,06\text{ Watów}
Przykład 3:Innym przykładem zastosowania iloczynów skalarnych w fizyce jest strumień magnetyczny. Strumień magnetyczny to ilość pola magnetycznego przechodzącego przez dany obszar. Występuje jako iloczyn skalarny pola magnetycznegobz obszaremZA. (Kierunek wektora pola tonormalnalub prostopadle do powierzchni obszaru).
\Phi=\pogrubienie{B\cdot A}
Załóżmy, że pole 0,02 Tesli przechodzi przez pętlę drutu o promieniu 10 cm, tworząc kąt 30 stopni z normalną. Jaki jest strumień?
\Phi=\bold{B\cdot A} = BA\cos(\theta) = 0,02\times(\pi\times0.1^2)\times\cos (30) = 0,000544\text{ Wb}
Gdy zmienia się ten strumień, zmieniając wartość pola, zmieniając obszar pętli lub zmieniając kąt obracając pętlę lub źródło pola, prąd będzie indukowany w pętli, generując Elektryczność!
Ponownie zauważ, jak kąt jest istotny w intuicyjny sposób. Gdyby kąt wynosił 90 stopni, oznaczałoby to, że pole leżałoby wzdłuż tej samej płaszczyzny co obszar i żadne linie pola nie przechodziłyby przez pętlę, co nie powodowałoby żadnego strumienia. Ilość strumienia zwiększa się wtedy, gdy kąt między polem a normalną zbliża się do 0. Iloczyn skalarny pozwala nam określić, jaka część pola znajduje się w kierunku normalnym do powierzchni, a zatem przyczynia się do strumienia.
Projekcja wektorowa i iloczyn kropkowy
We wcześniejszych rozdziałach wspomniano, że iloczyn skalarny można traktować jako sposób rzutowania jednego wektora na inny, a następnie mnożenia ich wielkości. W związku z tym nie powinno dziwić, że wzór na projekcję wektorową można wyprowadzić z iloczynu skalarnego.
Aby zaprojektować wektorzana wektorb, bierzemy iloczyn skalarnyzazwektor jednostkowyW kierunkub, a następnie pomnóż ten wynik skalarny przez ten sam wektor jednostkowy.
Wektor jednostkowy to wektor o długości 1, który leży w określonym kierunku. Wektor jednostkowy w kierunku wektorabjest po prostu wektorembpodzielone przez jego wielkość:
\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|}
Więc ta projekcja jest wtedy:
\text{Rzut }\bold{a}\text{ na }\bold{b} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} \Big)\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|^ 2}\Duży)\pogrubiony{b}
Produkt kropkowy w wyższym wymiarze
Tak jak wektory istnieją w wyższym wymiarze, tak samo istnieje iloczyn skalarny. Wyobraź sobie przykład dziecka ponownie pchającego pociąg. Załóżmy, że popycha zarówno w dół, jak i pod kątem w bok toru. W standardowym układzie współrzędnych wektory siły i przemieszczenia musiałyby być reprezentowane jako trójwymiarowe.
Wniewymiary, iloczyn skalarny definiuje się następująco:
\bold{a\cdot b} = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n
Wszystkie te same właściwości iloczynu skalarnego, co wcześniej, nadal obowiązują, a prawo cosinusów ponownie podaje zależność:
\bold{a \cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)
Gdzie wielkość każdego wektora znajduje się w następujący sposób, ponownie zgodny z twierdzeniem Pitagorasa:
|\bold{a}|=\sqrt{\bold{a\cdot a}}=\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+...+(a_n)^2}
Jak znaleźć produkt punktowy w trzech wymiarach?
Przykład 1:Iloczyn skalarny jest szczególnie przydatny, gdy trzeba znaleźć kąt między dwoma wektorami. Załóżmy na przykład, że chcemy określić kąt międzyza= (2, 3, 2) ib= (1, 4, 0). Nawet jeśli naszkicujesz te dwa wektory w 3 przestrzeniach, owinięcie głowy wokół geometrii może być bardzo trudne. Ale matematyka jest dość prosta, wykorzystując fakt, że:
\bold{a \cdot b}=|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\implikuje \theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\ pogrubienie{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Duży)
Następnie obliczamy iloczyn skalarnyzaib:
\bold{a\cdot b}=2\times1+3\times4+2\times0=14
I obliczanie wielkości każdego wektora:
|\bold{a}|=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17}=4.12\\|\bold{b}|=\sqrt{1^2+4^ 2+0^2}=\sqrt{17}=4,12
I wreszcie podłączając wszystko, otrzymujemy:
\theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Big)=\cos^{- 1}\Big(\frac{14}{4.12\times 4.12}\Big)=\boxed{34.4\stopni}
Przykład 2:Ładunek dodatni znajduje się w punkcie współrzędnych (3, 5, 4) w przestrzeni trójwymiarowej. W którym miejscu wzdłuż linii wskazującej kierunek wektoraza= (6, 9, 5) czy pole elektryczne jest największe?
Rozwiązanie: Z naszej wiedzy na temat zależności natężenia pola elektrycznego od odległości wiemy, że punkt na linii, która jest najbliżej ładunku dodatniego, znajduje się miejsce, w którym pole będzie najsilniejszy. Z naszej wiedzy o iloczynach skalarnych możemy się domyślać, że zastosowanie wzoru rzutowania ma tutaj sens. Ta formuła powinna dać nam wektor, którego końcówka jest dokładnie w tym punkcie, którego szukamy.
Musimy obliczyć:
\text{Rzut }(3, 5, 4)\text{ na }\bold{a}=\Big((3,5,4)\cdot\frac{\bold{a}}{|\bold{ a}|^2}\Duży)\pogrubiony{a}
Aby to zrobić, najpierw znajdźmy |za|2:
|\pogrubienie{a}|^2=6^2+9^2+5^2=142
Następnie iloczyn skalarny:
(3,5,4)\cdot (6,9,5)=3\times6+5\times9+4\times5=83
Dzieląc to przez |za|2 daje 83/142 = 0,585. Następnie mnożąc ten skalar przezzadaje:
0.585\bold{a}=0.585 \times (6,9,5)=(3.51,5.27,2.93)
Stąd punkt wzdłuż linii, w którym pole jest najsilniejsze, to (3,51, 5,27, 2,93).