Równanie Schrodingera jest najbardziej podstawowym równaniem w mechanice kwantowej, a nauka jego użycia i jego znaczenia jest niezbędna dla każdego początkującego fizyka. Równanie nosi imię Erwina Schrödingera, który wraz z Paulem Diracem w 1933 roku zdobył Nagrodę Nobla za wkład w fizykę kwantową.
Równanie Schrodingera opisuje funkcję falową układu mechaniki kwantowej, która daje probabilistyczne informacje o położeniu cząstki i innych obserwowalnych wielkościach, takich jak jej pęd. Najważniejszą rzeczą, jaką uświadomisz sobie na temat mechaniki kwantowej po zapoznaniu się z równaniem, jest to, że prawa w sferze kwantowej sąbardzo różneod mechaniki klasycznej.
Funkcja fali
Funkcja falowa jest jednym z najważniejszych pojęć w mechanice kwantowej, ponieważ każda cząstka jest reprezentowana przez funkcję falową. Zazwyczaj podaje się grecką literę psi (Ψ) i zależy to od pozycji i czasu. Kiedy masz wyrażenie na funkcję falową cząstki, mówi ci wszystko, o czym można wiedzieć system fizyczny, a różne wartości dla obserwowalnych ilości można uzyskać, stosując operator do to.
Kwadrat modułu funkcji falowej mówi o prawdopodobieństwie znalezienia cząstki w danej pozycjixw wyznaczonym czasiet. Dzieje się tak tylko wtedy, gdy funkcja jest „znormalizowana”, co oznacza, że suma modułu kwadratowego we wszystkich możliwych lokalizacjach musi być równa 1, czyli że cząstka jestpewnyznajdować sięgdzieś.
Zauważ, że funkcja falowa dostarcza tylko informacji probabilistycznych, więc nie możesz przewidzieć wyniku jednej obserwacji, chociażmogąokreślić średnią z wielu pomiarów.
Możesz użyć funkcji fali do obliczenia calculate„wartość oczekiwana”dla pozycji cząstki w czasiet, gdzie wartość oczekiwana jest średnią wartościąxuzyskasz, jeśli powtórzysz pomiar wiele razy.
Ponownie, to nie mówi nic o konkretnym pomiarze. W rzeczywistości funkcja falowa jest bardziej rozkładem prawdopodobieństwa dla pojedynczej cząstki niż czymś konkretnym i niezawodnym. Używając odpowiedniego operatora, możesz również uzyskać wartości oczekiwane dla pędu, energii i innych obserwowalnych wielkości.
Równanie Schrödingera
Równanie Schrodingera jest liniowym równaniem różniczkowym cząstkowym, które opisuje ewolucję a stan kwantowy w sposób podobny do praw Newtona (w szczególności drugie prawo) w klasycznym mechanika.
Jednak równanie Schrodingera jest równaniem falowym dla funkcji falowej danej cząstki, a więc użycie równania do przewidywania przyszłego stanu systemu jest czasami nazywana „mechaniką falową”. Samo równanie wywodzi się z zasady zachowania energii i jest zbudowane wokół operatora zwanego Hamiltonian.
Najprostszą formą równania Schrodingera do zapisania jest:
H Ψ = iℏ \frac{\partialΨ}{\częściowy t}
Gdzie ℏ jest zredukowaną stałą Plancka (tj. stałą podzieloną przez 2π) iHjest operatorem Hamiltona, który odpowiada sumie energii potencjalnej i energii kinetycznej (całkowitej) układu kwantowego. Hamiltonian jest jednak sam w sobie dość długim wyrażeniem, więc pełne równanie można zapisać jako:
−\frac{ ℏ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\partial x^2} + V(x) Ψ == iℏ \frac{\partialΨ}{\partial t}
Zauważając, że czasami (dla problemów jawnie trójwymiarowych) pierwsza pochodna cząstkowa jest zapisywana jako operator Laplace'a ∇2. Zasadniczo hamiltonian oddziałuje na funkcję falową, opisując jej ewolucję w przestrzeni i czasie. Ale w wersji równania niezależnej od czasu (tj. gdy system nie zależy odt), hamiltonian podaje energię układu.
Rozwiązanie równania Schrodingera oznacza znalezienie findingkwantowo-mechaniczna funkcja falowato wystarcza w konkretnej sytuacji.
Zależne od czasu równanie Schrodingera
Zależne od czasu równanie Schrodingera jest wersją z poprzedniej sekcji i opisuje ewolucję funkcji falowej dla cząstki w czasie i przestrzeni. Prostym przypadkiem do rozważenia jest cząsteczka swobodna, ponieważ energia potencjalnaV= 0, a rozwiązanie przyjmuje postać fali płaskiej. Rozwiązania te mają postać:
Ψ = Ae^{kx −ωt}
Gdziek = 2π / λ, λjest długość fali, iω = mi / ℏ.
W innych sytuacjach część pierwotnego równania dotycząca energii potencjalnej opisuje warunki brzegowe dla przestrzenna część funkcji falowej i często jest podzielona na funkcję ewolucyjną w czasie i niezależną od czasu równanie.
Niezależne od czasu równanie Schrodingera
W przypadku statycznych sytuacji lub rozwiązań, które tworzą fale stojące (takich jak studnia potencjału, rozwiązania w stylu „cząstka w pudełku”), można podzielić funkcję falową na części czasu i przestrzeni:
Ψ(x, t) = Ψ(x) f (t)
Kiedy przejdziesz przez to w całości, część czasu może zostać anulowana, pozostawiając formę równania Schrodingera, która:tylkozależy od położenia cząstki. Funkcja falowa niezależna od czasu jest wtedy dana wzorem:
H Ψ(x) = E Ψ(x)
Tutajmijest energią układu mechaniki kwantowej, orazHjest operatorem Hamiltona. Ta forma równania przyjmuje dokładną postać równania wartości własnej z funkcją falową będącą funkcją własną, a energia będąca wartością własną przy zastosowaniu operatora Hamiltona do niego. Rozszerzając hamiltonian do postaci bardziej wyrazistej, można go w całości zapisać jako:
−\frac{ ℏ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\partial x^2} + V(x) Ψ = E Ψ(x)
Czasowa część równania zawarta jest w funkcji:
f (t) = e^{\frac{iEt}{ℏ}}
Rozwiązania niezależnego od czasu równania Schrodingera
Niezależne od czasu równanie Schrodingera dobrze nadaje się do dość prostych rozwiązań, ponieważ przycina pełną postać równania. Doskonałym tego przykładem jest grupa rozwiązań „cząstka w pudełku”, w której zakłada się, że cząstka ma potencjał o nieskończoności kwadratowej w jednym wymiarze, więc potencjał jest zerowy (tj.V= 0) przez cały czas i nie ma szans na znalezienie cząstki poza studnią.
Jest też studnia skończenie kwadratowa, w której potencjał na „ścianach” studni nie jest nieskończony i nawet jeśli jest wyższy niż energia cząstki, jesttrochęmożliwość znalezienia cząstki poza nią dzięki tunelowaniu kwantowemu. Dla nieskończonej studni potencjału rozwiązania przyjmują postać:
Ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
GdzieLto długość studni.
Potencjał funkcji delta jest bardzo podobny do pojęcia studni potencjału, z wyjątkiem szerokościLdążenie do zera (tj. jest nieskończenie małe wokół jednego punktu) i głębokość studni zbliża się do nieskończoności, podczas gdy iloczyn tych dwóch (U0) pozostaje stała. W tej bardzo wyidealizowanej sytuacji istnieje tylko jeden stan związany, określony przez:
Ψ(x) = \frac{\sqrt{mU_0}}{ℏ}e^{-\frac{mU_0}{ℏ^2}\vert x\vert}
Z energią:
E = - \frac{mU_0^2}{2ℏ^2}
Atom wodoru Rozwiązanie równania Schrodingera
Wreszcie, rozwiązanie atomu wodoru ma oczywiste zastosowania w fizyce świata rzeczywistego, ale w praktyce sytuacja ponieważ elektron wokół jądra atomu wodoru może być postrzegany jako bardzo podobny do studni potencjału problemy. Sytuacja jest jednak trójwymiarowa i najlepiej opisuje ją współrzędne sferyczner, θ, ϕ. Rozwiązanie w tym przypadku podaje:
Ψ(x) = NR_{n, l}(r) P^m_{l}(\cos θ)e^{imϕ}
GdziePsą wielomiany Legendre'a,Rsą konkretnymi rozwiązaniami promieniowymi, orazNjest stałą, którą ustalasz, używając faktu, że funkcja falowa powinna być znormalizowana. Z równania otrzymujemy poziomy energii podane wzorem:
E = - \frac{\mu Z^2e^4}{8ϵ_0h^2n^2}
GdzieZtutaj jest liczba atomowa (takZ= 1 dla atomu wodoru),miw tym przypadku jest to ładunek elektronu (a nie stałami = 2.7182818...), ϵ0 to przenikalność elektryczna wolnej przestrzeni, orazμto masa zredukowana, która jest oparta na masach protonu i elektronu w atomie wodoru. To wyrażenie jest dobre dla każdego atomu wodoropodobnego, co oznacza każdą sytuację (w tym jony), w której jeden elektron krąży wokół centralnego jądra.
