W matematyce sekwencja to dowolny ciąg liczb ułożony w kolejności rosnącej lub malejącej. Sekwencja staje się sekwencją geometryczną, gdy możesz uzyskać każdą liczbę, mnożąc poprzednią liczbę przez wspólny czynnik. Na przykład seria 1, 2, 4, 8, 16... jest ciągiem geometrycznym o wspólnym współczynniku 2. Jeśli pomnożysz dowolną liczbę w serii przez 2, otrzymasz następną liczbę. Natomiast sekwencja 2, 3, 5, 8, 14, 22... nie jest geometryczne, ponieważ nie ma wspólnego czynnika między liczbami. Ciąg geometryczny może mieć ułamkowy wspólny czynnik, w którym to przypadku każda kolejna liczba jest mniejsza niż poprzednia. 1, 1/2, 1/4, 1/8... jest przykładem. Jego wspólny czynnik to 1/2.
Fakt, że ciąg geometryczny ma wspólny czynnik, pozwala zrobić dwie rzeczy. Pierwszym z nich jest obliczenie dowolnego elementu losowego w ciągu (który matematycy lubią nazywać „nieth”), a drugim jest znalezienie sumy ciągu geometrycznego donieelement. Kiedy sumujesz ciąg, umieszczając znak plus między każdą parą terminów, zamieniasz ciąg w szereg geometryczny.
Znajdowanie n-tego elementu w szeregu geometrycznym
Ogólnie można przedstawić dowolny szereg geometryczny w następujący sposób:
za + za + za^2 + za^3 + za^4 +.. .
gdzie "za„ to pierwszy termin w serii, a „r" jest wspólnym czynnikiem. Aby to sprawdzić, rozważ serię, w którejza= 1 ir= 2. Otrzymujesz 1 + 2 + 4 + 8 + 16... to działa!
Po ustaleniu tego można teraz wyprowadzić wzór na n-ty wyraz ciągu (xnie).
x_n = ar^{(n-1)}
Wykładnik tonie− 1 zamiastnieaby pierwszy wyraz w ciągu był zapisany jakoAr0, co równa się „za."
Sprawdź to, obliczając czwarty termin w przykładowej serii.
x_4 = (1) × 2^3 = 8
Obliczanie sumy ciągu geometrycznego
Jeśli chcesz zsumować ciąg rozbieżny, który jest ciągiem o wspólnym stosunku większym niż 1 lub mniejszym niż -1, możesz to zrobić tylko do skończonej liczby wyrazów. Możliwe jest jednak obliczenie sumy nieskończonego ciągu zbieżnego, który jest ciągiem o wspólnym stosunku od 1 do -1.
Aby opracować wzór na sumę geometryczną, zacznij od rozważenia tego, co robisz. Szukasz w sumie następujących serii dodatków:
a + ar + ar^2 + ar^3 +... + ar^{(n-1)}
Każdy termin w serii toArk, ikidzie od 0 donie− 1. Wzór na sumę szeregu wykorzystuje duży znak sigma – ∑ – co oznacza dodawanie wszystkich wyrazów z (k= 0) do (k = nie − 1).
\sum_k^{n-1} ar^k = a\bigg(\frac{1 - r^n}{1 - r}\bigg)
Aby to sprawdzić, rozważ sumę pierwszych 4 wyrazów szeregu geometrycznego zaczynającego się od 1 i posiadającego wspólny czynnik równy 2. W powyższym wzorzeza = 1, r= 2 inie= 4. Wstawiając te wartości, otrzymujesz:
1 \bigg(\frac{1 - 2^4}{1 - 2}\bigg) = 15
Łatwo to zweryfikować, samodzielnie dodając liczby w serii. W rzeczywistości, gdy potrzebujesz sumy szeregu geometrycznego, zwykle łatwiej jest dodać liczby samodzielnie, gdy jest tylko kilka wyrazów. Jeśli jednak szereg ma dużą liczbę wyrazów, znacznie łatwiej jest użyć wzoru na sumę geometryczną.